題解【[TJOI2017]不勤勞的圖書管理員】

時間  2020-03-07
標籤 題解 tjoi2017 tjoi 勤勞 圖書管理員 简体版
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\[ \texttt{Description} \]spa

給兩個長度爲 \(n\) 的數列 \(A\) 和 \(B\) 。code

記 \(A\) 的逆序對（知足 \(x<y\)，\(A_x>A_y\) 的數對 \((x,y)\) ）對答案的貢獻爲 \(B_x+B_y\) 。ip

通俗地說，答案就是 \(\sum\limits_{x < y \ \& \ A_x > A_y}\) \(B_x+B_y\)。get

一共 \(m\) 次交換，每次交換 \(A_x\) 和 \(A_y\) ，\(B_x\) 和 \(B_y\) 。it

每次交換後，你都要給出答案。
\[ \texttt{Solution} \]io

  • 是 CF785E 升級版，多加了 \(B\) 這一維度。

  • 首先，對於初始序列的答案，顯然能夠用兩個 \(\text{BIT}\) 來作，一個 \(\text{BIT}\) 維護值域內數的數量，一個 \(\text{BIT}\) 維護值域內數的 \(B\) 值和 ，像 \(\text{BIT}\) 求逆序對同樣地，從後往前掃，考慮當前位置 \(x\) 上的數 \(A_x\) ，與 \(x+1\) 到 \(n\) 之間的 \(A_y\) 產生的逆序對對答案的貢獻，記 \(C_1\) 爲 \(A\) 值在 \([1,A_x-1]\) 內數的個數，記 \(C_2\) 爲 \(A\) 值在 \([1,A_x-1]\) 內數的 \(B\) 值和，則對答案的貢獻有 \(B_x \times C_1+C_2\) ，求完整個序列的答案的複雜度是 \(\mathcal{O(n \log n)}\) 的。class

  • 考慮交換怎麼搞，對於任意兩個位置 \(x,y\) ，咱們考慮計算出交換 \(x,y\) 對答案形成的影響。

  • 首先，交換 \(x,y\) 顯然不會影響到 \([1,x-1]\) 和 \([y+1,n]\) 中的數與 \(A_x\) 或 \(A_y\) 產生的逆序對，由於相對位置是不變的。再者，對於 \(A_x\) 和 \(A_y\) 是否會造成逆序對，能夠直接討論一下 \(A_x\) 和 \(A_y\) 的大小關係。gc

  • 因而咱們只要考慮 \([x+1,y-1]\) 內的數與 \(A_x\) 和 \(A_y\) 的逆序對關係，咱們能夠視交換 \(x,y\) 爲：在 \(x\) 處除去一個 \(A_x\) ，在 \(x\) 處增上一個 \(A_y\) ，在 \(y\) 處除去一個 \(A_y\) ，在 \(y\) 處增上一個 \(A_x\) 。im

  • 那麼答案的變化應該爲：查詢

    減去 " \(B_x\times\) 區間 \([x+1,y-1]\) 內 \(A\) 值在 \([1,A_x-1]\) 的數的個數 \(+\) 區間 \([x+1,y-1]\) 內 \(A\) 值在 \([1,A_x-1]\) 的數的 \(B\) 值和 " 。

    加上 " \(B_y\times\) 區間 \([x+1,y-1]\) 內 \(A\) 值在 \([1,A_y-1]\) 的數的個數 \(+\) 區間 \([x+1,y-1]\) 內 \(A\) 值在 \([1,A_y-1]\) 的數的 \(B\) 值和 " 。

    減去 " \(B_y\times\) 區間 \([x+1,y-1]\) 內 \(A\) 值在 \([A_y+1,n]\) 的數的個數 \(+\) 區間 \([x+1,y-1]\) 內 \(A\) 值在 \([A_y+1,n]\) 的數的 \(B\) 值和 " 。

    加上 " \(B_x\times\) 區間 \([x+1,y-1]\) 內 \(A\) 值在 \([A_x+1,n]\) 的數的個數 \(+\) 區間 \([x+1,y-1]\) 內 \(A\) 值在\([A_x+1,n]\) 的數的 \(B\) 值和 " 。

  • 咱們發現更新答案須要查詢 " 區間內的給定值域內的數的信息 " ，而且帶修，能夠用樹套樹來作（\(\text{BIT}\) 套權值線段樹，線段樹套權值線段樹均可以）。

  • \(\mathcal{O(n \log^2 n)}\) ，評測記錄 。

\[ \texttt{Code} \]

#include<cstdio>
#include<algorithm>

#define RI register int

using namespace std;

namespace IO
{
    static char buf[1<<20],*fs,*ft;
    inline char gc()
    {
        if(fs==ft)
        {
            ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin);
            if(fs==ft)return EOF;
        }
        return *fs++;
    }
    #define gc() getchar()
    inline int read()
    {
        int x=0,f=1;char s=gc();
        while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=gc();}
        while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=gc();}
        return x*f;
    }
}using IO::read;

const int N=50100,MLOGNLOGN=20000000;

const int Mod=1e9+7;

void ckadd(long long &x,long long val)
{
    x=((x+val)%Mod+Mod)%Mod;
}

int n,m;

long long a[N],b[N];

long long BIT[N][2]; // 0 個數 : 1 和

void BIT_add(int x,int k,int val)
{
    for(;x<=n;x+=x&-x)ckadd(BIT[x][k],val);
}

long long BIT_ask(int x,int k)
{
    long long ans=0;
    for(;x;x-=x&-x)ckadd(ans,BIT[x][k]);
    return ans;
}

long long ans; 

int tot,root[N];
struct SegmentTree{
    int lc,rc;
    long long cnt;
    long long sum;
}t[MLOGNLOGN];

int New()
{
    tot++;
    t[tot].lc=t[tot].rc=t[tot].cnt=0;
    return tot;
}

void insert(int &p,int l,int r,int delta,int cnt,int sum)
{
    if(!p)p=New();
    ckadd(t[p].cnt,cnt);
    ckadd(t[p].sum,sum);
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)/2;
    if(delta<=mid)
        insert(t[p].lc,l,mid,delta,cnt,sum);
    else
        insert(t[p].rc,mid+1,r,delta,cnt,sum);
}

void add(int pos,int delta,int cnt,int sum)
{
    for(;pos<=n;pos+=pos&-pos)
        insert(root[pos],1,n,delta,cnt,sum);
}

int lenA,addt[N];
int lenS,subt[N];

long long ask(int L,int R,int k,int s,int e) // 區間 [l,r] 類型 k 值域 [s,e] 
{
    if(e==0||s>e)
        return 0;

    long long res=0;
    int l,r;

    lenA=0;
    for(RI i=R;i;i-=i&-i)addt[++lenA]=root[i];
    lenS=0;
    for(RI i=L-1;i;i-=i&-i)subt[++lenS]=root[i];

    l=1,r=n;
    while(true)
    {
        if(l==r)
        {
            for(RI i=1;i<=lenA;i++)ckadd(res,k?t[addt[i]].sum:t[addt[i]].cnt);
            for(RI i=1;i<=lenS;i++)ckadd(res,k?-t[subt[i]].sum:-t[subt[i]].cnt);
            break;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        if(e<=mid)
        {
            for(RI i=1;i<=lenA;i++)addt[i]=t[addt[i]].lc;
            for(RI i=1;i<=lenS;i++)subt[i]=t[subt[i]].lc;
            r=mid;
        }
        else
        {
            for(RI i=1;i<=lenA;i++)ckadd(res,k?t[t[addt[i]].lc].sum:t[t[addt[i]].lc].cnt);
            for(RI i=1;i<=lenS;i++)ckadd(res,k?-t[t[subt[i]].lc].sum:-t[t[subt[i]].lc].cnt);
            for(RI i=1;i<=lenA;i++)addt[i]=t[addt[i]].rc;
            for(RI i=1;i<=lenS;i++)subt[i]=t[subt[i]].rc;
            l=mid+1;
        }
    }

    if(s==1)
        return res;

    lenA=0;
    for(RI i=R;i;i-=i&-i)addt[++lenA]=root[i];
    lenS=0;
    for(RI i=L-1;i;i-=i&-i)subt[++lenS]=root[i];

    l=1,r=n;
    while(true)
    {
        if(l==r)
        {
            for(RI i=1;i<=lenA;i++)ckadd(res,k?-t[addt[i]].sum:-t[addt[i]].cnt);
            for(RI i=1;i<=lenS;i++)ckadd(res,k?t[subt[i]].sum:t[subt[i]].cnt);
            break;
        }
        int mid=(l+r)/2;
        if(s-1<=mid)
        {
            for(RI i=1;i<=lenA;i++)addt[i]=t[addt[i]].lc;
            for(RI i=1;i<=lenS;i++)subt[i]=t[subt[i]].lc;
            r=mid;
        }
        else
        {
            for(RI i=1;i<=lenA;i++)ckadd(res,k?-t[t[addt[i]].lc].sum:-t[t[addt[i]].lc].cnt);
            for(RI i=1;i<=lenS;i++)ckadd(res,k?t[t[subt[i]].lc].sum:t[t[subt[i]].lc].cnt);
            for(RI i=1;i<=lenA;i++)addt[i]=t[addt[i]].rc;
            for(RI i=1;i<=lenS;i++)subt[i]=t[subt[i]].rc;
            l=mid+1;
        }
    }

    return res;
}

void turn(int x,int y)
{
    if(x>y)
        swap(x,y);

    if(x+1<=y-1)
    {
        ckadd(ans,-b[x]*ask(x+1,y-1,0,1,a[x]-1)-ask(x+1,y-1,1,1,a[x]-1));
        ckadd(ans,-b[y]*ask(x+1,y-1,0,a[y]+1,n)-ask(x+1,y-1,1,a[y]+1,n));
        ckadd(ans,b[y]*ask(x+1,y-1,0,1,a[y]-1)+ask(x+1,y-1,1,1,a[y]-1));
        ckadd(ans,b[x]*ask(x+1,y-1,0,a[x]+1,n)+ask(x+1,y-1,1,a[x]+1,n));
    }

    if(a[x]>a[y])
        ckadd(ans,-b[x]-b[y]);
    else if(a[x]<a[y])
        ckadd(ans,b[x]+b[y]);

    add(x,a[x],-1,-b[x]);
    add(y,a[y],-1,-b[y]);

    swap(a[x],a[y]),swap(b[x],b[y]);

    add(x,a[x],1,b[x]);
    add(y,a[y],1,b[y]);
}

int main()
{
    n=read(),m=read();

    for(RI i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read(),b[i]=read(),
        add(i,a[i],1,b[i]);

    for(RI i=n;i;i--)
    {
        ckadd(ans,b[i]*BIT_ask(a[i]-1,0)+BIT_ask(a[i]-1,1));
        BIT_add(a[i],0,1),BIT_add(a[i],1,b[i]);
    }

    while(m--)
    {
        int x=read(),y=read();

        turn(x,y);

        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}

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