讀書筆記: 範疇論

時間 2019-11-10

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讀書筆記: 範疇論

基本概念

範疇論

數學構造(Mathematical structure)
在數學上，在集合上的一個構造是一個附加的數學對象，賦予這個集合某種意義。node
範疇論(category theory)
範疇論的目的是：規範化數學構造。
方法爲：使用帶標籤的有向圖。
研究內容：各類數學結構之間的關係。app

範疇(category)

一個範疇是一個帶標籤的有向圖，其節點爲對象(object)，帶有標籤的有向邊爲箭頭(arrow or morphism)。dom

一個範疇C包含3個數學實體：ide

對象集合：ob(C)
每一個元素都是一個對象，一個對象又能夠認爲是一個集合。函數
態射集合: hom(C)
態射集合的每一個元素是一個態射, $f: a \to b$，每一個態射f有一個源對象(source object) a和目標對象(target object)b。
$hom(a, b)$表示從a到b的全部態射。flex
性質：二元操做：態射結合(composition of morphisms): $\circ$
$f: a \to b, g: b \to c$ 的結合是 $g \circ f$。具備
- 知足結合律(Associativity): $ h \circ ( g \circ f ) = ( h \circ g ) \circ f $
- 存在恆等態射(identity):
  對於每一個對象x，存在一個恆等態射(identity morphism) $1_x: x \to x$，
  其性質爲，對於任何態射$f: a \to b$，有$1_b \circ f = f = f \circ 1_a$
  恆等態射的含義是：定義了相同關係(equality relation A = B)。
  能夠簡單的認爲是；$f(x) = x$。

態射(morphism)

態射能夠理解爲一個函數，在範疇論中，每每表示爲一個對象和另外一個對象的map關係。
態射做爲函數理解的時候，不用糾結於參數的個數。ui

態射的種類($f: a \to b$)：spa

單態射(monomorphism or monic)
若是$f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2, \forall g_1, g_2: x \to a$。
其含義是：不存在兩個a中元素 map 到同一個b中的元素。
$\forall a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)$code
滿態射(epimorphism or epic)
若是$g_1 \circ f = g_2 \circ f \implies g_1 = g_2, \forall g_1, g_2: b \to x$。
其含義是：每個b中的元素，都在a中有至少一個 source mapper。orm
雙態射(bimorphism)
便是單態射，有時滿態射。
同構(isomorphism)
若是存在一個同構$g:b \to a$，有$f \circ g = 1_b, g \circ f = 1_a$。
其含義是：a,b兩個對象的元素存在一對一的 map 關係。
同構 = 雙態射 + 存在逆態射。
g稱爲逆態射，也是一個同構，g 的逆態射是 f。
好比：f是加法，g是減法。
自態射(endomorphism)
表示一個態射源對象和目標對象是同一個, $f: a \to a$。記爲：end(a)。
自同構(automorphism)
若是f既是一種自態射，又是具備同構性。記爲：aut(a)。
撤回射(retraction)
若是存在一個f的右逆，也就是說，若是存在: $g : b \to a, f \circ g = 1_b。
f 是另外一個態射g的撤回射，其含義是：g 能夠經過f找到 source element。f一定是一個滿態射(epimorphism)。
部分射(section)
若是f的左逆是存在的，也就是說，若是存在: $g : b \to a, g \circ f = 1_a。
f 是另外一個態射g的部分射，其含義是：f 肯定了g的同構部分。f一定是一個單態射(monomorphism)。
是否是能夠理解爲f的g應用的一個條件???
同態(homomorphism)
同態(homomorphism)是一個態射，表示一個數學結構\mathcal{A}(C, , e)到另外一個數學結構\mathcal{B}(C', ', e')的map關係，而且維持了數學結構上的的每一種操做*。
同態(homomorphism) $f: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$，有：
$f(x * y) = f(x) *' f(y)$

同一種操做在不一樣的數學結構上定義能夠不一樣。
好比：指數函數是一個同態。

\[ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ f(x) = e^x \\ e^{x + y} = e^x e^y \to f(x * y) = f(x) * f(y) \\ where \\ f \text{ exponential function is a homomorphism} \\ \text{the source is A} = \mathbb{R} \\ \text{the target is B} = \mathbb{R} \\ * = + \text{ in A} \\ * = \times \text{ in B} \]

域(domain)/協域(codomain)
對於一個態射(morphism) $f : S \to T$。域(domain)是這個態射的源，協域(codomain)是這個態射目標。
範疇的表達
1. 表達1

\[ C = (Ob(C), Hom_C(x,y), id_x, \circ) \\ where \\ Ob(C) \in Set_{object} \\ Hom_C(x, y) \in Set_{morphism} \ | \ x, y \in Ob(C) \\ id_x \in Hom_C(x, x) \text{ : identity morphism of x} \\ \circ : Hom_C(y, z) \times Hom_C(x, y) \to Hom_C(x, z) \text{ : composition formula} \\ \text{Identity Law:} \\ \forall x, y \in Ob(C), f: x \to y \\ f \circ id_x = f \\ id_y \circ f= f \\ \text{Associative Law:} \\ \forall w, x, y, z \in Ob(C), h: w \to x, g: x \to y, f: y \to z \\ (h \circ g) \circ f = h \circ ( g \circ f) \in Hom_C(w, z) \]

函子(functor)

函子是範疇之間的map關係。能夠理解爲範疇之間的態射。

協變(covariant)函子
$F: C \to D$, F包含：
- 對於每個 C 中的對象x，對應一個 D 中的F(x)。
- 對於每個C中的態射$f: x \to y$，對應D的態射$F(f): F(x) \to F(y)$。
逆變(contravariant)函子
和協變函子相似，只不過態射的方向是從D到C。

天然轉換(Natural transformation)

天然轉換是兩個函子之間的關係。函子描述「天然構造(natural constructions)」，天然轉換描述兩個這樣構造的"天然同態(natural homomorphisms)"。
homomorphism的意思是相同的形狀。

其它

本體(olog)
交換圖(commutative diagram)
通用性質(universal property)
若是，兩個數學結構是同構(isomorphism)，那麼它們之間就存在通用性質。
同構意味着兩個數學結構X和Y中的元素是存在一一對應。
那麼，Y上的性質(態射)意味着X上存在一個對應的性質(態射)。好比：
X = {A, B, C}
Y = {1, 2, 3}
A --> 1
B --> 2
C --> 3
若是+(1, 2) = 3，咱們也能夠認爲存在 +(A, B) = C。起點性質。
若是+(1, 2)，咱們也能夠認爲存在 +(C) = (A, B)。起點性質。
通用性質(universal property)要麼是一個起點性質(initial property)，要麼是一個終點性質(terminal property)。
- 起點性質(initial property)
  惟一存在
  \[ U: D \to C \\ D \{ A, Y \} \\ C \{ X, U(A), U(Y), \phi: X \to U(A) \} \\ \therefore \\ \text{initial property:} \\ \forall f: X \to U(Y) \\ \exists g, g: A \to Y \\ \exists U(g), g: U(A) \to U(Y) \\ \]
- 終點性質(terminal property)
  惟一存在
  \[ U: D \to C \\ D \{ A, Y \} \\ C \{ X, U(A), U(Y), \phi: U(A) \to X \} \\ \therefore \\ \text{terminal property:} \\ \forall f: U(Y) \to X \\ \exists g, g: Y \to A \\ \exists U(g), g: U(Y) \to U(A) \\ \]
- 起點性質示例
  \[ X = (L : (a,b,c), A:L \times L, B: L) \\ Y = (N : (1,2,3), A_y:N \times N, B_y: N, C_y: A_y) \\ \phi: C_y \to A_y = c \\ \text{e.g. } (1, 2) = (1, 2) \\ f: C_y \to B_y = c_1 + c_2 \\ \text{e.g. } 1 + 2 = 3 \\ \therefore \\ \exists g: A \to B \\ \text{e.g. } a + b = c \]
- 終點性質示例
  \[ X = (L : (a,b,c), A:L \times L, B: L) \\ Y = (N : (1,2,3), A_y:N \times N, B_y: N, C_y: B_y) \\ \phi: A_y \to C_y = a_1 + a_2 \\ \text{e.g. } 1 + 2 = 3 \\ f: B_y \to C_y = b \\ \text{e.g. } 3 = 3 \\ \therefore \\ \exists g: B \to A \\ \text{e.g. } c = a + b \]
拉回(pullback)
推出(pushout)
limit/colimit

關係

二元關係(binary relation)
一個基於集合X的二元關係，是一個$R \subseteq X \times X$的子集。
等價關係(equivalence relations)
一個集合X上的等價關係$\sim$，是一個$R \subseteq X \times X$的子集，具備
- 自反性(Reflexivity)
  $(x, x) \in R$
- 對稱性(Symmetry)
  $(x, y) \in R \text{, iff } $(y, x) \in R$$
- 傳遞性(Transitivity)
  $\text{if } (x, y) \in R, (y, z) \in R \text{, then } $(x, z) \in R$$

幺半羣(monoid)

幺半羣能夠表明一個序列或者列表。

幺半羣(monoid)
一個幺半羣是一個序列(sequence)$(M, e, \star)$。M是一個集合，
$e \in M$是一個元素，成爲單位元素(identity element)。
$\star : M \times M \to M$是一個函數，稱爲乘法公式(multiplication formula)。
幺半羣具備如下屬性：
- 同一概(identity law)
  $m \star e = m$
  $e \star m = m$
- 結合律(associativity law)
  $(m \star n) \star p = m \star ( n \star p)$
  好比：字符串就是一個幺半羣，e = "", $\star$ = +。
List in set
集合X，在X上的List是
\[ (n, f) \\ where \\ n \in \mathbb{N} \text{ : the length of the list} \\ f: \underline{n} \to X \\ \underline{n} = \{ 1,2, \cdots, n\} \]
記作:
\[ (n, f) = [f(1), f(2), \cdots, f(n)] \]
列表單體(free monoid generated by X)
$M: = (List(X), [], ++)$
List(X)；集合X的元素列表集合。
[]是一個空列表。
++是鏈接操做(concatenation)。
顯示幺半羣(presented monoid)

顯示幺半羣的做用是提供了替換方法。
由有限集合G和等價關係產生的顯示幺半羣(the monoid presented by generators G and relation $ { (m_i, m'_i) | 1 \le i \le n } $)

\[ M = \{ M, e, \star \} \\ where \\ \{ (xm_iy \sim xm'_iy) | x, y \in List(G), 1 \le i \le n \} \text{ : equivalence relation} \\ M = List(G)/\sim \\ e = [] \\ \star \text{ : concatenating operation} \]

循環(cyclic)幺半羣

循環幺半羣的做用是提供了一個環形列表的定義方法。
循環(cyclic)幺半羣是隻有一個等價關係的顯示幺半羣。
幺半羣行動(monoid actions)
在集合S上的幺半羣$(M, e, \star)$的行動爲函數:
\[ \hookrightarrow \]

符號

術語	English	Notation
單態射	monomorphisms	$ \hookrightarrow $
滿態射	epimorphisms	$ \twoheadrightarrow $
同構	isomorphisms	$ \overset{\sim}{\to} $

羣(group)

group是一個monoid，而且每一個元素都有一個倒數(inverse)。
推論：倒數具備惟一性。

圖形(graphs)

圖形(graphs)是由多個頂點(vertex)和頂點之間的箭頭(arrow)定義而成。
路徑(path)

順序(order)

預次序關係(preorder)
預次序關係(preorder)$(S, \leq)$是一個基於集合S的二元關係$R \subseteq S \times S$，
R的關係：$\text{if } (s, s') \in R, \text{then } s \leq s'$
而且有
- 自反性(Reflexivity): $s \leq s$
- 傳遞性(Transitivity): $\text{if } s \leq s' \text{and } s' \leq s", \text{then } s \leq s"$
部分有序(partial order)
部分有序(partial order)是預次序關係，而且
- 反對稱性(Antisymmetry)
  若是s <= s', 而且 s' <= s, 則 s = s'。
線性有序(linear order)
線性有序(linear order)是部分有序，而且
- 可比較性(Comparability)
  要麼 s <= s', 要麼 s' <= s。
派系(clique)
派系(clique)中的每兩個點都是毗鄰的(adjacent)。
\[ clique \doteq S' \\ where \\ (S, \leqslant) \text{ is a preorder}\\ S' \subseteq S \\ a \leqslant b, \forall a,b \in S' \]
meet 和 join
$(S, \leqslant)$是一個preorder。$s, t \in S$
s和t的meet(the biggest thing smaller than both)是一個元素$w \in S$，
表示爲：$ w \cong s \land t $
具備:
\[ w \leqslant s \\ w \leqslant t \\ x \leqslant w \ | \ \forall x \in S, x \leqslant s \ \And \ x \leqslant t \]
s和t的join(the smallest thing bigger than both)是一個元素$w \in S$，
表示爲：$ w \cong s \lor t $
具備:
\[ s \leqslant w \\ t \leqslant w \\ w \leqslant x \ | \ \forall x \in S, s \leqslant x \ \And \ t \leqslant x \]
meet 和 join 不必定是惟一的。任何兩個meet必定在同一個派系內。

digraph finite_state_machine {
    rankdir=LR;
    size="8,5"

    node [shape = doublecircle]; S;
    node [shape = point ]; qi

    node [shape = circle];
    qi -> S;
    S  -> q1 [ label = "a" ];
    S  -> S  [ label = "a" ];
    q1 -> S  [ label = "a" ];
    q1 -> q2 [ label = "ddb" ];
    q2 -> q1 [ label = "b" ];
    q2 -> q2 [ label = "b" ];
}

反順序(Opposite order)
$S := (S, \leqslant)$是一個預次序(preorder)，則反順序$S^{op} := (s, \leqslant^{op})$,
有：
$ s \leqslant s' \iff s' \leqslant s $
次序的態射(morphism of orders)
從$S := (S, \leqslant)$到$S' := (S', \leqslant')$次序的態射f，表示爲$f: S \to S'$。
\[ \text{if } s_1 \leqslant s_2 \text{, then } f(s_1) \leqslant f(s_2) \]

Database vs Graph

路徑等價聲明(path equivalence declaration)
圖形$G := (V, A, src, tgt)$, $Path_G$爲G中全部路徑的集合。
$p \simeq q | p,g \in Path_G$爲路徑等價聲明，表示p,g有相同的起點和終點。
在G上的一個一致(congruence) 是一個在$Path_G$上的 等價關係$\simeq$，具備:

$\simeq$是一個等價關係.
若是 $p \simeq q$，則src(p) = src(q).
若是 $p \simeq q$，則tgt(p) = tgt(q).
假設 $p,q: b \to c$是路徑，而且$m: a \to b$。若是 $p \simeq q$，則$mp \simeq mq$.
假設 $p,q: b \to c$是路徑，而且$n: b \to c$。若是 $p \simeq q$，則$pn \simeq qn$.

$\simeq$ 是一個集合，定義了圖形上的全部約束。

引理:假設$p simeq q : a \to b, r \simeq s: b \to c$，則$pr \simeq qs$。
Database Schema
Database Schema $C := (G, \simeq)$，G是一個圖形，$\simeq$是G上的一致。
Olog = Database Schema
實例(instance)
一個頂點對應的集合，和出入箭頭的全部路徑上的節點集合。
\[ (PK, FK) : C \to Set \text{ is an instance} \\ where \\ C = (G, \simeq) \\ G = (V, A, src, tgt) \\ PK : V \to Set \text{, one set for one vertex} \\ FK(a) : PK(v) \to PK(w) \ | \ v = src(a), w = tgt(a), \forall a \in A \]
路徑法則(Law 1 - Path through a database)
\[ FK(a_m) \circ \dots \circ FK(a_1) (x) = FK(a'_n) \circ \dots \circ FK(a'_1) (x) = PK(w), \forall x \in PK(v) \\ where \\ p = v a_1 a_2 \dots a_m : v \to w \\ q = v a'_1 a'_2 \dots a'_n : v \to w \\ p \simeq q \]