初探微積分

時間 2019-11-11

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說在前面

微積分因爲剛剛學習，因此趁着有印象趕快整理下來
本文章適合入門，其實文章裏面大部分都是有關於導數的內容，積份內容只有兩個函數

平均變化率

概念：通常的，已知函數y=f（x），x0，x1是其定義域不一樣的兩點，記做： $\Delta$ x=x1-x0
　　　$\Delta$y=y1-y0=f（x1）-f（x0）=f（x0+$\Delta$x）-f（x1）
　　　則當$\Delta$x!=0時，商$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}$=$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$
　　　稱函數y=f（x）在區間[x0,x0+$\Delta$x](或[x0+$\Delta$x,x0])的平均變化率學習

例題：1.求函數y=x^2在區間[x0,x0+$\Delta$x]的平均變化率ui

　　　2.求函數y=$\dfrac {1}{x}$在區間[x0,x0+$\Delta$x]的平均變化率spa

瞬時變化率

概念：當$\Delta$x趨近於0時，平均變化率$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}$=$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$趨近於一個常數l
　　　那麼稱函數l爲函數y=f（x）在點x0的瞬時變化率
記做：當$\Delta$x ——> 0時，$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$ ——> lblog

　　　即$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=l$圖片

f（x）在點x0處的導數

概念：函數y=f（x）在點x0的瞬時變化率
　　　一般稱爲f（x）在點x0處的導數，並記做$f'\left( x_{0}\right)$
$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=f'\left( x_{0}\right)$入門

導數定義

概念：若是f（x）在開區間（a，b）內每一點x都是可導的，稱f（x）在區間（a，b）可導
　　　區間（a，b）的每一個值都對應一個肯定的導數$f'\left( x\right)$
　　　因而在區間（a，b）內，$f'\left( x\right)$可構成一個新函數
　　　稱爲y=f（x）的導函數，記做$f'\left( x\right)$通稱導數
　　　
例題：1.火箭豎直向上發射，熄火時向上速度達到100m/s
　　　試問熄火多長時間火箭上上速度爲$0$
　　　
　　　2.圓S=π r^2，周長l=2πr求之間的關係class

導數的幾何意義

概念：經過直線和曲線圖像咱們能夠得知兩線有割線也有切線
　　　顯然，咱們能夠知道割線的斜率就是平均變化率
　　　當割線成爲切線的時候$\Delta$x ——>$0$，割線斜率趨近於切線斜率
　　　
　　　即$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=f'\left( x_{0}\right)$
　　　
例題：1.求拋物線$y=x^{2}$在點（x0，f（x0））的導數的切線的斜率等於$f'\left( x_{0}\right)$方法

　　　2.求雙曲線$y=\dfrac {1}{x}$在點（2,1/2）的切線方程im

導數的運算

常值函數的導數：
　　　　　　　　　$y=f\left( x\right) \equiv c$（c爲常數）
　　　　　　　　　$y'=f'\left( x\right) =C'=\lim _{\Delta x\rightharpoonup 0}\dfrac {c-c}{\Delta x}=0$
根據以上的方法咱們能夠獲得幾個式子　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y=x　　　y'=x'=1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=x^{2}$　　　$y=\left(x^{2}\right)'＝2x$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=\dfrac {1}{x}$　　　$y'=-\dfrac {1}{x^{2}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=x^{3}$　　　$y'=3x^{2}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=\sqrt {x}$　　　$y'=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {x_{0}+\Delta }x-\sqrt {x_{0}}}{\Delta x}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

基本初等函數的公示表

導數的四則運算

1.函數和或差的求法

$\left[ f\left( x\right) \pm g\left( x\right) \right] '=f'\left( x\right) \pm g'\left( x\right)$

2.函數積的求法

$\left[ t\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \right] '=f'\left( x\right) \cdot g\left( x\right) +g'\left( x\right) \cdot f\left( x\right)$

3.函數商的求法

$\left[ \dfrac {f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right]' =\dfrac {f'\left( x\right) g\left( x\right) -f\left( x\right) g'\left( x\right) }{g^{2}\left( x\right) }$