基本數據結構 -- 樹簡介

1、什麼是樹

　　樹是一個有限結點組成的集合。能夠用遞歸的方式來定義一棵樹：樹能夠是一個空集，若非空，則一棵樹由一個根（root）結點 r 以及 0 個或多個非空的（子）樹 T一、T二、T三、...,Tk 組成，這些子樹中的每一棵的根都被來自根 r 的一條有向的邊（edge）所鏈接。每一棵子樹的根叫作根 r 的兒子（child），而 r 是每一棵子樹的根的父親（parent）。

樹的幾個概念：

1）樹葉（leaf）：從上述的遞歸定義能夠知道，一棵樹是由 N 個結點和 N-1 條邊組成的集合。每一個結點均可以有零個或任意多個兒子，沒有兒子的結點稱爲樹葉（leaf）；

2）兄弟（sibling）：具備相同父親的結點稱爲兄弟（sibling）；

3）路徑（path）：從結點 n₁ 到 n_k 的路徑定義爲結點 n₁、n₂、n₃、...、n_k 的一個序列，使得對於 1 <= i  <= k，結點 n_i 是 n_i+1 的父親。這個路徑的長爲該路徑上的邊的條數，即 k-1。從每個結點到它本身有一條長爲 0 的路徑。在一棵樹中，從根到每一個結點剛好存在一條路徑。

4）深度（depth）：對於任意結點 ni，ni 的深度爲從根到 ni 的惟一路徑的長，根的深度爲0；

5）高（height）：對於任意結點 ni，ni 的高爲從 ni 到一片樹葉的最長路徑的長，樹的高等於它的根的高（只有一個根結點的樹的高度爲0，空樹的高度爲 -1）；

6）結點的度：一個結點的兒子的個數。

圖 1-1 樹

　　如圖所示，爲一棵樹，其中，A是根結點；B、C、D、E、F 爲 A 的兒子，A 爲它們的父親；B 和 C有相同的父親，它們是兄弟（sibling）；從結點 A 到結點 M 的路徑爲 A、D、H、M；結點 B 的深度爲1；結點 D 的高度爲 3；整棵樹的高度爲 4。

 

2、二叉樹

　　二叉樹是一棵樹，其中每一個結點最多有兩個兒子，分別爲左子結點和右子結點。二叉樹的平均深度是 O(√N)。

2.1 二叉樹的實現

　　由於一棵二叉樹的每一個結點最多隻能有兩個子結點，故而咱們能夠用指針直接指向它們。樹結點的聲明在結構上相似於雙鏈表的聲明，在聲明中，一個結點由關鍵字（Key）和兩個指向其餘結點的指針（Left 和 Right）組成：

typedef int ElementType;

struct TreeNode {
    ElementType Element;
    struct TreeNode *Left;
    struct TreeNode *Right;
};

typedef struct TreeNode *PtrToNode;
typedef PtrToNode BinaryTree;

　　這段代碼聲明瞭一個結構，該結構包含一個 ElementType 類型的數據，用於保存結點數據；一個 Left 指針，指向結點的左子樹；和一個 Right 指針，指向結點的右子樹。

 

2.2 二叉樹的遍歷

　　按必定的順序，依次訪問二叉樹中的全部結點的操做稱爲遍歷。有三種方式能夠對二叉樹進行遍歷，如下面這幅圖爲例進行介紹：

圖 2-1 二叉樹

1）先序遍歷：

　　先訪問根結點，而後遍歷左子樹，再遍歷右子樹。對圖 2-1 所示的二叉樹進行先序遍歷結果爲：A-B-D-G-H-E-C-F-I-J。 先序遍歷一棵二叉樹的C語言實現以下：

/* 先序遍歷，遞歸實現 */
void PreOrderRecursion(BinaryTree T)
{
    if (T != NULL) {
        printf("%d\t", T->Element);
        PreOrderRecursion(T->Left);
        PreOrderRecursion(T->Right);
    }
}

　　上述代碼用遞歸的方式實現了先序遍歷二叉樹。須要注意的是判斷條件，要時刻判斷二叉樹是否爲空，這在遞歸中尤其重要。遞歸實現先序遍歷的代碼十分簡潔且易懂。可是，遞歸調用的空間複雜度較大，當輸入規模很大時，會佔用至關多的內存，也容易形成堆棧的溢出。

　　可使用非遞歸的方式來實現先序遍歷，大體思想以下：首先，將根結點保存到一個數據結構裏，而後訪問左子樹，待左子樹訪問完後，取出根結點，再訪問右子樹；每訪問一個子樹以前，都將這棵子樹的根結點保存，待須要訪問其右子樹時再取出。能夠知道的是，先保存進去的結點數據後取出，是一個後入先出結構，所以使用棧來保存根結點的數據十分合適。

 

2）後序遍歷：

　　先遍歷左子樹，再遍歷右子樹，最後訪問根結點。對圖 2-1 所示的二叉樹進行後序遍歷的結果爲：G-H-D-E-B-I-J-F-C-A。

/* 後序遍歷，遞歸實現 */
void PostOrderRecursion(BinaryTree T)
{
    if (T != NULL) {
        PostOrderRecursion(T->Left);
        PostOrderRecursion(T->Right);
        printf("%d\n", T->Element);
    }
}

 

3）中序遍歷：

　　先遍歷左子樹，而後訪問根結點，再遍歷右子樹。對圖 2-1 所示的二叉樹進行中序遍歷的結果爲：G-D-G-B-E-A-C-I-F-J。

/* 中序遍歷，遞歸實現 */
void InOrderRecursion(BinaryTree T)
{
    if(T != NULL){
        InOrderRecursion(T->Left);
        printf("%d\n",T->Element);
        InOrderRecursion(T->Right);
    }
}

 

3、一些特殊的二叉樹

3.1 滿二叉樹

　　滿二叉樹是一棵深度爲 k,且有 2^(k-1) 個結點的二叉樹，以下圖所示：

圖 2-2 滿二叉樹

　　這就是一個滿二叉樹，能夠看到，滿二叉樹的全部葉子都在同一層  ——  最後一層，非葉子結點的度必定爲2。在一樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點數是最多的，葉子數也是最多的。

 

3.2 徹底二叉樹

　　徹底二叉樹，除了最後一層外，其他層都是滿的，且最後一層的葉子結點都幾種在樹的左邊。滿二叉樹就是徹底二叉樹的一個特例。以下圖：

圖 2-3 徹底二叉樹

 

3.3 二叉查找樹（二叉排序樹）

　　二叉查找樹是二叉樹的一種，更適合於進行查找操做。對於二叉查找樹，樹中的每一個結點 X 的左子樹中全部關鍵字的值小於 X 的關鍵字值，而它的右子樹中全部關鍵字值大於 X 的關鍵字值。這意味着，該樹的全部元素能夠以某種統一的方式進行排序。二叉查找樹的平均深度是 O(logN)。 

 

圖 2-4 二叉查找樹

 

參考資料：

《算法導論 第三版》

《數據結構與算法分析--C語言描述》