算法進階路徑

時間 2019-11-12

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第一階段：練經典經常使用算法，下面的每一個算法給我打上十到二十遍，同時本身精簡代碼，算法

由於太經常使用，因此要練到寫時不用想，10-15分鐘內打完，甚相當掉顯示器均可以把程序打數組

出來. 網絡

1.最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord) 數據結構

2.最小生成樹(先寫個prim,kruscal要用並查集，很差寫) 閉包

3.大數（高精度）加減乘除函數

4.二分查找. (代碼可在五行之內) 工具

5.叉乘、判線段相交、而後寫個凸包. 優化

6.BFS、DFS,同時熟練hash表(要熟，要靈活,代碼要簡) spa

7.數學上的有：展轉相除（兩行內），線段交點、多角形面積公式. 設計

8. 調用系統的qsort, 技巧不少，慢慢掌握.

9. 任意進制間的轉換

第二階段：練習複雜一點，但也較經常使用的算法。

如：

1. 二分圖匹配（匈牙利），最小路徑覆蓋

2. 網絡流，最小費用流。

3. 線段樹.

4. 並查集。

5. 熟悉動態規劃的各個典型：LCS、最長遞增子串、三角剖分、記憶化dp

6.博弈類算法。博弈樹，二進制法等。

7.最大團，最大獨立集。

8.判斷點在多邊形內。

9. 差分約束系統.

10. 雙向廣度搜索、A*算法，最小耗散優先.

相關的知識

圖論

路徑問題

0/1邊權最短路徑

BFS

非負邊權最短路徑（Dijkstra）

能夠用Dijkstra解決問題的特徵

負邊權最短路徑

Bellman-Ford

Bellman-Ford的Yen-氏優化

差分約束系統

Floyd

廣義路徑問題

傳遞閉包

極小極大距離 / 極大極小距離

Euler Path / Tour

圈套圈算法

混合圖的 Euler Path / Tour

Hamilton Path / Tour

特殊圖的Hamilton Path / Tour 構造

生成樹問題

最小生成樹

第k小生成樹

最優比率生成樹

0/1分數規劃

度限制生成樹

連通性問題

強大的DFS算法

無向圖連通性

割點

割邊

二連通分支

有向圖連通性

強連通分支

2-SAT

最小點基

有向無環圖

拓撲排序

有向無環圖與動態規劃的關係

二分圖匹配問題

通常圖問題與二分圖問題的轉換思路

最大匹配

有向圖的最小路徑覆蓋

0 / 1矩陣的最小覆蓋

完備匹配

最優匹配

穩定婚姻

網絡流問題

網絡流模型的簡單特徵和與線性規劃的關係

最大流最小割定理

最大流問題

有上下界的最大流問題

循環流

最小費用最大流 / 最大費用最大流

弦圖的性質和斷定

組合數學

解決組合數學問題時經常使用的思想

逼近

遞推 / 動態規劃

機率問題

Polya定理

計算幾何 / 解析幾何

計算幾何的核心：叉積 / 面積

解析幾何的主力：複數

基本形

點

直線，線段

多邊形

凸多邊形 / 凸包

凸包算法的引進，捲包裹法

Graham掃描法

水平序的引進，共線凸包的補丁

完美凸包算法

相關斷定

兩直線相交

兩線段相交

點在任意多邊形內的斷定

點在凸多邊形內的斷定

經典問題

最小外接圓

近似O(n)的最小外接圓算法

點集直徑

旋轉卡殼，對踵點

多邊形的三角剖分

數學 / 數論

最大公約數

Euclid算法

擴展的Euclid算法

同餘方程 / 二元一次不定方程

同餘方程組

線性方程組

高斯消元法

解mod 2域上的線性方程組

整係數方程組的精確解法

矩陣

行列式的計算

利用矩陣乘法快速計算遞推關係

分數

分數樹

連分數逼近

數論計算

求N的約數個數

求phi(N)

求約數和

快速數論變換

……

素數問題

機率判素算法

機率因子分解

數據結構

組織結構

二叉堆

左偏樹

二項樹

勝者樹

跳躍表

樣式圖標

斜堆

reap

統計結構

樹狀數組

虛二叉樹

線段樹

矩形面積並

圓形面積並

關係結構

Hash表

並查集

路徑壓縮思想的應用

STL中的數據結構

vector

deque

set / map

動態規劃 / 記憶化搜索

動態規劃和記憶化搜索在思考方式上的區別

最長子序列系列問題

最長不降低子序列

最長公共子序列

最長公共不降低子序列

一類NP問題的動態規劃解法

樹型動態規劃

揹包問題

動態規劃的優化

四邊形不等式

函數的凸凹性

狀態設計

規劃方向

線性規劃

經常使用思想

二分最小表示法

串

KMP Trie結構

後綴樹/後綴數組 LCA/RMQ

有限狀態自動機理論

排序

選擇/冒泡快速排序堆排序歸併排序

基數排序拓撲排序排序網絡

中級:

一.基本算法:

(1)C++的標準模版庫的應用. (poj3096,poj3007)

(2)較爲複雜的模擬題的訓練(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)

二.圖算法:

(1)差分約束系統的創建和求解. (poj1201,poj2983)

(2)最小費用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)

(3)雙連通份量(poj2942)

(4)強連通分支及其縮點.(poj2186)

(5)圖的割邊和割點(poj3352)

(6)最小割模型、網絡流規約(poj3308, )

三.數據結構.

(1)線段樹. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)

(2)靜態二叉檢索樹. (poj2482,poj2352)

(3)樹狀樹組(poj1195,poj3321)

(4)RMQ. (poj3264,poj3368)

(5)並查集的高級應用. (poj1703,2492)

(6)KMP算法. (poj1961,poj2406)

四.搜索

(1)最優化剪枝和可行性剪枝

(2)搜索的技巧和優化 (poj3411,poj1724)

(3)記憶化搜索(poj3373,poj1691)

五.動態規劃

(1)較爲複雜的動態規劃(如動態規劃解特別的施行商問題等)

(poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)

(2)記錄狀態的動態規劃. (POJ3254,poj2411,poj1185)

(3)樹型動態規劃(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)

六.數學

(1)組合數學:

1.容斥原理.

2.抽屜原理.

3.置換羣與Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).

4.遞推關係和母函數.

(2)數學.

1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222)

2.機率問題. (poj3071,poj3440)

3.GCD、擴展的歐幾里德(中國剩餘定理) (poj3101)

(3)計算方法.

1.0/1分數規劃. (poj2976)

2.三分法求解單峯(單谷)的極值.

3.矩陣法(poj3150,poj3422,poj3070)

4.迭代逼近(poj3301)

(4)隨機化算法(poj3318,poj2454)

(5)雜題.

(poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)

七.計算幾何學.

(1)座標離散化.

(2)掃描線算法(例如求矩形的面積和周長並,常和線段樹或堆一塊兒使用).

(poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)

(3)多邊形的內核(半平面交)(poj3130,poj3335)

(4)幾何工具的綜合應用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)

高級:

一.基本算法要求:

(1)代碼快速寫成,精簡但不失風格

(poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)

(2)保證正確性和高效性. poj3434

二.圖算法:

(1)度限制最小生成樹和第K最短路. (poj1639)

(2)最短路,最小生成樹,二分圖,最大流問題的相關理論(主要是模型創建和求解)

(poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446

(3)最優比率生成樹. (poj2728)

(4)最小樹形圖(poj3164)

(5)次小生成樹.

(6)無向圖、有向圖的最小環

三.數據結構.

(1)trie圖的創建和應用. (poj2778)

(2)LCA和RMQ問題(LCA(最近公共祖先問題) 有離線算法(並查集+dfs) 和在線算法

(RMQ+dfs)).(poj1330)

(3)雙端隊列和它的應用(維護一個單調的隊列,經常在動態規劃中起到優化狀態轉移的

目的). (poj2823)

(4)左偏樹(可合併堆).

(5)後綴樹(很是有用的數據結構,也是賽區考題的熱點).

(poj3415,poj3294)

四.搜索

(1)較麻煩的搜索題目訓練(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)

(2)廣搜的狀態優化:利用M進制數存儲狀態、轉化爲串用hash表判重、按位壓縮存儲狀態、雙向廣搜、A*算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)

(3)深搜的優化:儘可能用位運算、必定要加剪枝、函數參數儘量少、層數不易過大、能夠考慮雙向搜索或者是輪換搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286)

五.動態規劃

(1)須要用數據結構優化的動態規劃.

(poj2754,poj3378,poj3017)

(2)四邊形不等式理論.

(3)較難的狀態DP(poj3133)

六.數學

(1)組合數學.

1.MoBius反演(poj2888,poj2154)

2.偏序關係理論.

(2)博奕論.

1.極大極小過程(poj3317,poj1085)

2.Nim問題.

七.計算幾何學.

(1)半平面求交(poj3384,poj2540)

(2)可視圖的創建(poj2966)

(3)點集最小圓覆蓋.

(4)對踵點(poj2079)

八.綜合題.

(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263)

初期:

一.基本算法:

(1)枚舉. (poj1753,poj2965) (2)貪心(poj1328,poj2109,poj2586)

(3)遞歸和分治法. (4)遞推.

(5)構造法.(poj3295) (6)模擬法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)

二.圖算法:

(1)圖的深度優先遍歷和廣度優先遍歷.

(2)最短路徑算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)

(poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)

(3)最小生成樹算法(prim,kruskal)

(poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)

(4)拓撲排序 (poj1094)

(5)二分圖的最大匹配 (匈牙利算法) (poj3041,poj3020)

(6)最大流的增廣路算法(KM算法). (poj1459,poj3436)

三.數據結構.

(1)串 (poj1035,poj3080,poj1936)

(2)排序(快排、歸併排(與逆序數有關)、堆排) (poj2388,poj2299)

(3)簡單並查集的應用.

(4)哈希表和二分查找等高效查找法(數的Hash,串的Hash)

(poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)

(5)哈夫曼樹(poj3253)

(6)堆

(7)trie樹(靜態建樹、動態建樹) (poj2513)

四.簡單搜索

(1)深度優先搜索 (poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)

(2)廣度優先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)

(3)簡單搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)

五.動態規劃

(1)揹包問題. (poj1837,poj1276)

(2)型以下表的簡單DP(可參考lrj的書 page149):

1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)

2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最長公共子序列)

(poj3176,poj1080,poj1159)

3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最優二分檢索樹問題)

六.數學

(1)組合數學:

1.加法原理和乘法原理.

2.排列組合.

3.遞推關係.

(POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)

(2)數論.

1.素數與整除問題

2.進制位.

3.同餘模運算.

(poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)

(3)計算方法.

1.二分法求解單調函數相關知識.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)

七.計算幾何學.

(1)幾何公式.

(2)叉積和點積的運用(如線段相交的斷定,點到線段的距離等). (poj2031,poj1039)

(3)多邊型的簡單算法(求面積)和相關斷定(點在多邊型內,多邊型是否相交)

(poj1408,poj1584)

(4)凸包. (poj2187,poj1113)

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