使用天平3次，從12個乒乓球找惟一1個輕重未知的廢品

     前些天在知乎看到一個問如何鑑定程序員水平的問題，其中一個答主建議用智力題考驗程序員解決問題的能力（咱們在此不討論答主的觀點），而後就留了這麼一個問題供你們思考。當時思考了一陣，沒頭緒（我真不是答主認爲的優秀程序員╯□╰）就此放下了。剛好今天在看《控制論與科學方法論》這本書時，看到這本書對此題目的解答，但文中只給了第一步的推導，而後就同理了……而後我就糾結了N久，才把這個同理給想明白。下面把書中的解法和本身想明白的分享給你們。

     書中是使用控制能力來分析的（控制能力 = 原可能性空間大小 / 施加控制後可能性空間大小）。每一個球均可能是廢品中或輕或重兩種狀態，所以總的可能性空間大小是12×2=24個狀態。目標是惟一的一個狀態，所以要求控制能力爲24/1=24。天平每次稱量可肯定左邊重，右邊重，兩邊同重3個狀態中的一個，可能性空間縮小爲原來1/3，所以天平控制能力爲3，3次稱量，總控制能力爲3×3×3=27 > 24。因此此問題有解。

設第一次稱x個球，留y個球。若天平平衡，則廢品在y個球中，則有

2y/9 ≤1   (1)

若是天平不平衡，則廢品在x個球中。已知x/2個不會是輕的，x/2個不會是重的，全部的可能性空間爲x，則有：

x/9≤1   (2)

x+y=12   (3)

由此解的x=8,y=4。書中說用一樣的方法就能夠得到第二次第三次的具體解法了。這個「一樣的方法」讓我好生糾結，由於第二次狀況更復雜了，具體該怎麼求解呢？

      第一次稱量兩邊平衡的狀況很好想通，咱們來考慮兩邊不平衡的狀況。天平上比較輕的那一側咱們記爲a，另外一側記爲b。如今能夠假設從a中拿a­­₁個放入天平左邊，a­­₂個放入天平右邊，留下a₃個；從b中拿b­­₁個放入天平左邊，b₂個放入天平右邊，留下b₃個。則有：

a₁+a₂+a₃=4   (4)

b₁+b₂+b₃=4   (5)

a₁+b₁=a₂+b₂   (6)

若天平平衡，則有：

(a₃+b₃)/3≤1   (7)

若天平不平衡且左邊輕，則那a₁和b₁個球不多是重的，又在第一步的稱量中可知那b₁個球不多是輕的，因此能夠斷定那b₁個球是正常的；並且a₂和b₂個球不多是輕的，又在第一步的稱量中可知那a₂個球不多是重的，因此能夠斷定那a₂個球是正常的。此時剩下a₁和b₂個球待定。所以有：

(a₁+b₂)/3≤1   (8)

若天平不平衡且左邊重，則同理有：

(a₂+b₁)/3≤1   (9)

根據(4)-(9)能夠求得兩組解a₁=a₂=1,a₃=2；b₁=b₂=2,a₃=1；與a₁=a₂=2,a₃=1；b₁=b₂=1,a₃=2。

      第三步就能夠按一樣的方法推得了。

      控制能力解決問題的視角真獨特，自嘆仍是讀書少啊。

注：本文中給出的解後來發現並不全面，只是多個解中的一個。請參考評論18樓與21樓書中解答截圖。