跳躍表的引入
咱們知道，普通單鏈表查詢一個元素的時間複雜度爲O(n)，即便該單鏈表是有序的，咱們也不能經過2分的方式縮減時間複雜度。算法
如上圖，咱們要查詢元素爲55的結點，必須從頭結點，循環遍歷到最後一個節點，不算-INF(負無窮)一共查詢8次。那麼用什麼辦法可以用更少的次數訪問55呢？最直觀的，固然是新開闢一條捷徑去訪問55。post
如上圖，咱們要查詢元素爲55的結點，只須要在L2層查找4次便可。在這個結構中，查詢結點爲46的元素將耗費最多的查詢次數5次。即先在L2查詢46，查詢4次後找到元素55，由於鏈表是有序的，46必定在55的左邊，因此L2層沒有元素46。而後咱們退回到元素37，到它的下一層即L1層繼續搜索46。很是幸運，咱們只須要再查詢1次就能找到46。這樣一共耗費5次查詢。spa
那麼，如何才能更快的搜尋55呢？有了上面的經驗，咱們就很容易想到，再開闢一條捷徑。3d
如上圖，咱們搜索55只須要2次查找便可。這個結構中，查詢元素46仍然是最耗時的，須要查詢5次。即首先在L3層查找2次，而後在L2層查找2次，最後在L1層查找1次，共5次。很顯然，這種思想和2分很是類似，那麼咱們最後的結構圖就應該以下圖。指針
咱們能夠看到，最耗時的訪問46須要6次查詢。即L4訪問55，L3訪問2一、55，L2訪問3七、55，L1訪問46。咱們直覺上認爲，這樣的結構會讓查詢有序鏈表的某個元素更快。那麼究竟算法複雜度是多少呢？blog
若是有n個元素，由於是2分，因此層數就應該是log n層 (本文全部log都是以2爲底)，再加上自身的1層。以上圖爲例，若是是4個元素，那麼分層爲L3和L4，再加上自己的L2，一共3層；若是是8個元素，那麼就是3+1層。最耗時間的查詢天然是訪問全部層數，耗時logn+logn，即2logn。爲何是2倍的logn呢？咱們以上圖中的46爲例，查詢到46要訪問全部的分層，每一個分層都要訪問2個元素，中間元素和最後一個元素。因此時間複雜度爲O(logn)。class
至此爲止，咱們引入了最理想的跳躍表，可是若是想要在上圖中插入或者刪除一個元素呢？好比咱們要插入一個元素2二、2三、24……，天然在L1層，咱們將這些元素插入在元素21後，那麼L2層，L3層呢？咱們是否是要考慮插入後怎樣調整鏈接，才能維持這個理想的跳躍表結構。咱們知道，平衡二叉樹的調整是一件使人頭痛的事情，左旋右旋左右旋……通常人還真記不住，而調整一個理想的跳躍表將是一個比調整平衡二叉樹還複雜的操做。幸運的是，咱們並不須要經過複雜的操做調整鏈接來維護這樣完美的跳躍表。有一種基於機率統計的插入算法，也能獲得時間複雜度爲O(logn)的查詢效率，這種跳躍表纔是咱們真正要實現的。效率
容易實現的跳躍表
容易實現的跳躍表，它容許簡單的插入和刪除元素，並提供O(logn)的查詢時間複雜度，如下咱們簡稱爲跳躍表。二叉樹
先討論插入，咱們先看理想的跳躍表結構，L2層的元素個數是L1層元素個數的1/2，L3層的元素個數是L2層的元素個數的1/2，以此類推。從這裏，咱們能夠想到，只要在插入時儘可能保證上一層的元素個數是下一層元素的1/2，咱們的跳躍表就能成爲理想的跳躍表。那麼怎麼樣才能在插入時保證上一層元素個數是下一層元素個數的1/2呢？很簡單，拋硬幣就能解決了！假設元素X要插入跳躍表，很顯然，L1層確定要插入X。那麼L2層要不要插入X呢？咱們但願上層元素個數是下層元素個數的1/2，因此咱們有1/2的機率但願X插入L2層，那麼拋一下硬幣吧，正面就插入，反面就不插入。那麼L3到底要不要插入X呢？相對於L2層，咱們仍是但願1/2的機率插入，那麼繼續拋硬幣吧！以此類推，元素X插入第n層的機率是(1/2)的n次。這樣，咱們能在跳躍表中插入一個元素了。搜索
在此仍是以上圖爲例：跳躍表的初試狀態以下圖，表中沒有一個元素：
若是咱們要插入元素2，首先是在底部插入元素2，以下圖：
而後咱們拋硬幣，結果是正面，那麼咱們要將2插入到L2層，以下圖
繼續拋硬幣，結果是反面，那麼元素2的插入操做就中止了，插入後的表結構就是上圖所示。接下來，咱們插入元素33，跟元素2的插入同樣，如今L1層插入33，以下圖：
而後拋硬幣，結果是反面，那麼元素33的插入操做就結束了，插入後的表結構就是上圖所示。接下來，咱們插入元素55，首先在L1插入55，插入後以下圖：
而後拋硬幣，結果是正面，那麼L2層須要插入55，以下圖：
繼續拋硬幣，結果又是正面，那麼L3層須要插入55，以下圖：
繼續拋硬幣，結果又是正面，那麼要在L4插入55，結果以下圖：
繼續拋硬幣，結果是反面，那麼55的插入結束，表結構就如上圖所示。
以此類推，咱們插入剩餘的元素。固然由於規模小，結果極可能不是一個理想的跳躍表。可是若是元素個數n的規模很大，學過幾率論的同窗都知道，最終的表結構確定很是接近於理想跳躍表。
固然，這樣的分析在感性上是很直接的，可是時間複雜度的證實實在複雜，在此我就不深究了，感興趣的能夠去看關於跳躍表的paper。
再討論刪除，刪除操做沒什麼講的，直接刪除元素，而後調整一下刪除元素後的指針便可。跟普通的鏈表刪除操做徹底同樣。
再來討論一下時間複雜度，插入和刪除的時間複雜度就是查詢元素插入位置的時間複雜度，這不難理解，因此是O(logn)。