洛谷P3834題解

若想要深刻學習主席樹，傳送門。

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Description:

給定數列 \(\{a_n\}\) ,求閉區間 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小的數。

Method:

先對數據進行離散化，而後按照權值創建線段樹。

若要尋找 \([1,p]\) 的第 \(k\) 小，則從根節點開始處理。定義\(Son_{left}\) 表示左兒子的集合，\(Son_{right}\) 表示右兒子的集合。若 \(|Son_{left}|\ge k\) 時，說明第\(k\)小的數在左子樹中，以左兒子爲新的根向下遞歸更新，尋找左子樹中第 \(k\) 小的數；反之，說明第\(k\)小的數在右子樹中，以左兒子爲新的根向下遞歸更新，尋找左子樹中第 \(k-|Son_{left}|\) 小的數。

拓展一下，咱們先預處理建樹，獲得 \(n+1\) 個版本的線段樹（包括初始的線段樹），編號爲 \(0 \sim n\) 。

前文提到過，主席樹知足前綴和查詢的思想，故咱們要求 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小值，便可用sum[r]-sum[l-1]。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define Maxn 200010
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
int n,m;
struct Segtree
{
    int ls,rs,sum;
}tree[Maxn<<5];
int rt[Maxn];
int a[Maxn],ins[Maxn]; 
int len,tot=0;
inline void Init(){tot=0;}
inline int getid(const int &x)
{
    return lower_bound(ins+1,ins+len+1,x)-ins;
}
inline void pushup(int rt)
{
    tree[rt].sum=tree[tree[rt].ls].sum+tree[tree[rt].rs].sum;
}
inline int build(int l,int r)
{
    int rt=++tot;
    if(l==r) 
    {
        tree[rt].sum=0;
        return rt;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    tree[rt].ls=build(l,mid);
    tree[rt].rs=build(mid+1,r);
    pushup(rt);
    return rt;
}
int update(int k,int l,int r,int root,int val)
{
    int rt=++tot;
    tree[rt]=tree[root];
    if(l==k&&r==k)
    {
        tree[rt].sum+=val;
        return rt;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(k<=mid) tree[rt].ls=update(k,l,mid,tree[rt].ls,val);
    else tree[rt].rs=update(k,mid+1,r,tree[rt].rs,val);
    pushup(rt);
    return rt;
}
int query(int u,int v,int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)/2,x=tree[tree[v].ls].sum-tree[tree[u].ls].sum;
    if(k<=x) return query(tree[u].ls,tree[v].ls,l,mid,k);
    else return query(tree[u].rs,tree[v].rs,mid+1,r,k-x);
}
signed main()
{
    Init();
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        read(a[i]);
    }
    memcpy(ins,a,sizeof(ins));
    sort(ins+1,ins+n+1);
    len=unique(ins+1,ins+n+1)-ins-1;
    rt[0]=build(1,len);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        rt[i]=update(getid(a[i]),1,len,rt[i-1],1);
    }
    while(m--)
    {
        int l,r,k;
        read(l),read(r),read(k);
        printf("%lld\n",ins[query(rt[l-1],rt[r],1,len,k)]);
    }
    return 0;
}

Warning:

• ls[],rs[],sum[]等數組都要乘上 \(2^5\) 。
• 離散化取lower_bound時，是最後減去0開頭的地址，而不是1開頭的地址。（便是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins，而不是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins-1）
• 查詢時遞歸右子樹時查找第 \(k-|Son_{left}|\) 小，而不是 \(k\) 小。