幾個重要的分段函數

絕對值函數
　　$y=\left|x\right|=
　　\left\{\begin{matrix}
　　x, x \ge 0 &\\
　　-x, x < 0 &
　　\end{matrix}\right.$

　　性質：

　　　　$\left|x\right|=x \Leftrightarrow x \ge 0，\left|x\right|=-x \Leftrightarrow x \le 0$

　　圖形：

　　         

 

取整函數
　　$y=[x]=$小於或等於$x$的最大整數
　　用分段函數表示：$y=[x]=n,n \le x <n+1$($n$是整數)

　　性質：

　　　　$[x] \le x < [x] + 1,[x] = x \Leftrightarrow x$是整數，$[x+y] \ge [x]+[y],[x+n]=[x]+n$($n$是整數)

　　圖形：(階梯曲線)

　          　

 

符號函數
　　$y=sgnx=
　　\left\{\begin{matrix}
　　1,& x > 0 \\
　　0,& x = 0 \\
　　-1,& x < 0
　　\end{matrix}\right.$

　　性質：
　　　　$sgnx=1 \Leftrightarrow x > 0, sgnx=-1 \Leftrightarrow x < 0$
　　　　$sgn(x-a) = 1 \Leftrightarrow x > a, sgn(x-a) = -1 \Leftrightarrow x < a$
　　　　$x=sgnx \cdot \left|x\right|,\left|x\right|=sgnx \cdot x$

　　圖形：

　　　　

 

狄利克雷函數
　　$y=D(x)=
　　\left\{\begin{matrix}
　　1,& x是有理數 \\
　　0,& x是無理數
　　\end{matrix}\right.$

　　性質：
　　　　狄利克雷函數有不少糟糕的性質
　　　　1) 狄利克雷函數沒有圖形(沒有任何曲線段)
　　　　2) 狄利克雷函數是以任何正有理數爲週期的周期函數，所以它沒有最小的正週期
　　　　3) 狄利克雷函數到處無極限，到處不連續，到處不可導，在任何區間上不可積
　　　　狄利克雷函數經常使用來舉反例和構造具備某種特殊性質的函數
　　　　如函數:$y=xD(x)$僅在原點連續，在其餘點處間斷，
　　　　函數$y=x^{2}D(x)$僅在原點可導，在其餘點處間斷(從而不可導)

　　注意：

　　　　狄利克雷函數能夠用極限定義爲$D(x)=\lim_{m \rightarrow \infty }[\lim_{n \rightarrow \infty }cos^{n}(\pi m!x)]$