POJ 2559（單調棧）

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參考資料：

　　[1]:挑戰程序設計競賽

 

•題意

　　柱狀圖是由一些寬度相等的長方形下端對齊後橫向排列獲得的圖形。

　　如今有由 n 個寬度爲1，高度分別爲h[1,2,3.......n]的長方形從左到右依次排列組成的柱狀圖。

　　問裏面包含的長方形的最大面積是多少？

•題解

　　若是肯定了長方形的左端點L和右端點R，那麼最大可能的高度就是min{h[i] | L <= i <= R}。

　　這樣咱們就獲得了一個O(N³)的算法，若是對計算區間最小值進行一些優化，那麼能夠把複雜度將爲O(N^2)。

　　但即便是這樣，仍然沒法在規定時間內求出答案。那麼咱們應該怎麼作才能更高效的求解呢？

　　設面積最大的長方形左端是L，右端是R，高度是H。

　　易得H[L-1] < H 且 H[R+1] < H ，H=min{h[ i ] | L <= i <= R} 。

　　證實：

　　　　若是H[L-1] >= H ，那麼左端點就能夠更新爲L-1，從而能夠獲得更大的長方形，與假設矛盾，所以 H[L-1] < H；

　　同理可得 H[R+1] < H。

　　咱們能夠遍歷一邊，找到每一個 i (i=1,2,3,......,n) 的最小的L[ i ]和最大的R[ i ]；

　　這樣答案就是 max( h[i]*(R[i]-L[i]+1) ) (i=1,2,3,.........,n)。

　　關鍵就是如何在線性時間內求出每一個 i 的 L[ i ]和R[ i ]。

　　由 H[L-1] < H && H[R+1] < H 可得：

　　L[i]=( i 以前的高度第一個小於 h[i] 對應的下標) + 1;

　　R[i]=( i 以後的高度第一個小於 h[i] 對應的下標) - 1;

　　暴力方法固然是對於每一個 i 都遍歷一邊 i 以前的值和 i 以後的值，這固然是會超時的，因此，咱們要換個思路。

　　引入一個新的數據結構棧；

　　在計算 L[ i ] 時，首先，判斷棧頂元素 j 的高度 h[ j ] 是否大於等於 h[ i ]；

　　若是h[ j ] ≥ h[ i ]，則不斷彈出棧頂元素，直到 h[ j ] < h[ i ] 或棧爲空。

　　若棧爲空，則L[ i ] = 1，反之，L[ i ]=j+1，而後將 i 壓入棧中。

　　計算 R[ i ] 時只需反向( i 從n 到 1 )重複上述過程便可。

　　因爲棧的壓入和彈出操做都是 O(N)，所以整個算法的時間複雜度爲 O(N);

•Code

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<stack>
 4 using namespace std;
 5 #define ll long long
 6 const int maxn=1e5+50;
 7 
 8 int n;
 9 ll h[maxn];
10 int l[maxn];
11 int r[maxn];
12 stack<int >sta;
13 
14 void Clear()
15 {
16     while(!sta.empty())
17         sta.pop();
18 }
19 ll Solve()
20 {
21     Clear();
22     for(int i=1;i <= n;++i)
23     {
24         while(!sta.empty() && h[sta.top()] >= h[i])
25             sta.pop();
26 
27         l[i]=sta.empty() ? 1:sta.top()+1;
28         sta.push(i);
29     }
30 
31     Clear();
32     for(int i=n;i >= 1;--i)
33     {
34         while(!sta.empty() && h[sta.top()] >= h[i])
35             sta.pop();
36 
37         r[i]=sta.empty() ? n:sta.top()-1;
38         sta.push(i);
39     }
40 
41     ll ans=0;
42     for(int i=1;i <= n;++i)
43         ans=max(ans,h[i]*(r[i]-l[i]+1));
44 
45     return ans;
46 }
47 int main()
48 {
49     while(~scanf("%d",&n) && n)
50     {
51         for(int i=1;i <= n;++i)
52             scanf("%lld",h+i);
53 
54         printf("%lld\n",Solve());
55     }
56     return 0;
57 }

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