解析解與數值解

之前常常看到有文章提到解析解、數值解，因而怒查一發，總結至此。

解析解

解析解，又稱爲閉式解，是能夠用解析表達式來表達的解。 在數學上，若是一個方程或者方程組存在的某些解，是由有限次常見運算的組合給出的形式，則稱該方程存在解析解。二次方程的根就是一個解析解的典型例子。在低年級數學的教學當中，解析解也被稱爲公式解。

當解析解不存在時，好比五次以及更高次的代數方程，則該方程只能用數值分析的方法求解近似值。大多數偏微分方程，尤爲是非線性偏微分方程，都只有數值解。

解析表達式的準確含義依賴於何種運算稱爲常見運算或常見函數。傳統上，只有初等函數被看做常見函數（因爲初等函數的運算老是得到初等函數，所以初等函數的運算集合具備閉包性質，因此又稱此種解爲閉式解），無窮級數、序列的極限、連分數等都不被看做常見函數。按這種定義，許多累積分佈函數沒法寫成解析表達式。但若是把特殊函數，好比偏差函數或gamma函數也看做常見函數，則累積分佈函數能夠寫成解析表達式。

在計算機應用中，這些特殊函數由於大多有現成的數值法實現，它們一般被看做常見運算或常見函數。實際上，在計算機的計算過程當中，多數基本函數都是用數值法計算的，因此所謂的基本函數和特殊函數對計算機而言並沒有區別。

數值解

數值解，是指給出一系列對應的自變量，採用數值方法求出的解。採用的方法有限元法、數值逼近、插值法。他人只能利用數值計算的結果，而不能隨意給出自變量並求出計算值。當沒法由微積分技巧求得解析解時，便只能利用數值分析的方式來求得其數值解了，數值方法變成了求解過程重要的媒介。在數值分析的過程當中，首先要將原方程式加以簡化，以便後來的數值分析。例如，會先將微分符號改成差分符號等。而後用傳統的代數方法將原方程式改寫成另外一方便求解的形式。這時的求解步驟就是將一獨立變量帶入，求得相依變量的近似解。所以利用此方法所求得的相依變量爲一個個分離的數值，而解析解爲一連續的分佈。

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參考資料：

[1] wikipedia 解析解

[2] 百度百科 數值解