LeetCode進階1025-動態規劃

原題

1025. Divisor Game

Alice and Bob take turns playing a game, with Alice starting first.

Initially, there is a number N on the chalkboard. On each player's turn, that player makes a move consisting of:

• Choosing any x with 0 < x < N and N % x == 0.
• Replacing the number N on the chalkboard with N - x.

Also, if a player cannot make a move, they lose the game.

Return True if and only if Alice wins the game, assuming both players play optimally.

Example 1:

Input: 2 Output: true Explanation: Alice chooses 1, and Bob has no more moves. Example 2:

Input: 3 Output: false Explanation: Alice chooses 1, Bob chooses 1, and Alice has no more moves.

Note:

1 <= N <= 1000

1025. 除數博弈

Alice和Bob輪流玩一個遊戲，Alice先手。

一開始，黑板上有一個數字N.在某個玩家的回合中，該玩家進行如下操做：

• 選擇任意整數x，x知足0 < x < N 而且N % x == 0
• 將黑板上的數字N替換成N - x

最後，若是玩家沒法選擇，那麼判斷他遊戲失敗。

當且僅當Alice贏得比賽時才返回True，假設兩個玩家都達到最佳狀態

示例 1：

輸入：2 輸出：true 解釋：Alice選擇 1，Bob勃沒法進行操做。 示例 2：

輸入：3 輸出：false 解釋：Alice選擇 1，Bob勃也選擇 1，而後Alice沒法進行操做。

提示：

1 <= N <= 1000

• 本題在LeetCode上在動態規劃分類下

題意分析

結合LeetCode的官方分類能夠猜想出本題解題思路偏向動態規劃思想，動態規劃的思想核心，結果之間具備互相依賴性。至少有一種思路是動態規劃方向（若是瞭解過斐波那契數字的解法，便很容易聯想到本題動態規劃的具體思路。未理解過斐波那契數解法的讀者請關注筆者leetcode第509題後續博文。）。另外一種思路，根據題目不妨帶入具體數字不難發現一個結論，偶數狀況必定會贏，奇數狀況必定會輸。咱們考慮如何證實這個結論。

方法一：動態規劃

思路:

當N爲1：

無數字x可帶入，輸

當N爲2：

帶入數字x=1能贏。

當N爲3：

若x爲1，對手回合新N爲2，根據上述推導結論N爲2時對手贏，而本身輸，繼續嘗試改變x

若x爲2，沒法整除捨棄

當N爲4：

若x爲1，對手回合新N爲3，根據上述推導結論N爲3時對手輸，而本身贏，無需繼續嘗試改變x；

僞代碼：

一、聲明一個大小爲N+1的boolean數組，用於存取從1～N每一個數組對應輸贏，數組下標表示數組，值表示輸贏（初始win[1]默認爲輸）
     二、雙重循環遍歷：
       第一層循環從數字2到數組N循環遍歷，按照從小到大；
       第二層循環從1到當前外層循環數組x（不包含x），按照從小到大；
       i.n % x ==0 能整除時，斷定對手的下一回合win[n-x]輸贏，若對手輸則天然當前回合能贏，將結果贏存入數組win[n]
       ii.不然，x自增後繼續嘗試i；
       
     三、遍歷結束從2到N的輸贏結果均保留在數組中，返回win[N]；
   
複製代碼

• 注意： 動態規劃總體上提交結果正確，可是也因爲循環次數較多，在時間空間複雜度等效率方面並不高。實際項目需結合具體場景進行算法選型

動態規劃實現代碼：

public boolean divisorGame(int N) {
		boolean[] win = new boolean[N + 1];
		for (int n = 2; n <= N; ++n) {
			for (int x = 1; x < n; x++) {
				if (n % x == 0) {
					if (!win[n - x]) {
						win[n] = true;
						break;
					}
				}
			}
		}
		return win[N];
	}

複製代碼

方法二：根據奇偶規律證實

思路:

當N爲1：贏

當N爲2：贏

當N爲3：輸

當N爲4：贏

...

發現規律N爲奇數贏，N爲偶數輸，則轉化爲數學問題證實題。

證實：

1、N爲奇數時

1.N爲質數，則x必然只能爲1，則對手回合N變成 N - 1 爲數字更小的偶數；
2.N不爲質數，存在x，則x必然爲奇數，對手回合N變成 N - x 爲數字更小的偶數；
結論：N爲奇數時，對手回合必然爲偶數且N減少。

2、N爲偶數時我方贏

證實：
1.令x等於1，對手回合N變成 N - 1 爲數字更小的奇數；
2.對手回合的N必然爲奇數，由一可知操做後我方的N必然爲減少的偶數，我方持續令x=1；
3.最終回合對手N減少爲1，對手輸而我方贏；
結論：N爲偶數時我方贏。

2、N爲奇數時我方輸

證實：
1.N爲質數，則x必然只能爲1，而對手回合則變成偶數，由一可知，對手令x=1對手贏，我方輸；
2.N不爲質數，存在x，則x必然爲奇數，對手回合N變成 N - x 爲數字更小的偶數，由一可知，對手令x=1對手贏，我方輸；
結論：N爲奇數時我方輸。

複製代碼

實現代碼：

public boolean divisorGame(int N) {
		return (N & 1) == 0;
	}
	
複製代碼

彩蛋

仔細觀察第二種方法實現的時候，並非使用N % 2 == 0來判斷奇偶，而是經過(N & 1) == 0來判斷，這即是本文的彩蛋。千里之行，始於足下，共勉之～

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