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面試題 - 二輸入比較器實現排序算法

轉載自love小酒窩linux

https://www.cnblogs.com/lyc-seu/p/13385782.htmlweb

1. 問題描述

給定8個數，以及若干二輸入的比較器（能夠將兩個輸入排序）。要求在單週期內實現8個數的排序，並使用最少的比較器個數。（樂鑫）面試

（距離面試已通過了好久，抽空整理一下當時的題目）算法

2. 問題解析

乍一看，排序算法，這不是個算法題麼，將8個數排下序，腦子裏最早出來的是什麼冒泡，選擇，插入排序......趕忙打住，咱們如今在討論電路，不要走錯片場了。實際上題目限定了二輸入的比較器，因此方向很明確，如今已經有二輸入排序模塊，咱們要用這個二輸入的模塊搭成8輸入的。那麼天然也就能想到，先搭個4輸入的，看有沒有什麼規律。如今問題簡化爲4輸入排序，很天然就想到，先分兩組，每組之間排一下：（*表示較大的輸出）vim

這樣排完之後要解決的問題就是組間的大小問題。首先，兩組之間最大的比較一下就能出來四個中最大的，兩組最小的比較出來四個中最小的。因此第二級比較又須要兩個比較器。第二級結束後咱們已經獲得了最大和最小，但次大和次小還不能肯定，因此須要一個額外的比較器肯定次大次小。因此四個數的排序電路以下：微信

因此4個數進行排序須要的最少的二輸入比較器個數是5個。那麼如今問題回到8個數，實際上咱們至關於已經有了4輸入進行排序的模塊，用若干個4輸入排序模塊來完成8輸入排序。相對於二輸入模塊，四輸入的模塊的輸出能夠分爲兩組，一組最大次大，另外一組最小次小。實際上仍是按照剛纔的拓撲結構，將二輸入換成四輸入便可：app

仍是按照以前的思路，首先8個輸入分爲兩組，每組之間排序。以後按照剛纔的邏輯，上一組的最大次大和下一組的最大次大送入四輸入排序模塊，就能夠肯定出8個數中的最大和次大。這裏可能有人會有疑問。假設如圖中所示，第一層出來之後上面的模塊輸出最大次大是B和C,下面模塊輸出最大和次大是H和F,這四個數中必定會產生8個數中的最大和次大值麼？答案是確定的，由於對於A和D而言，B和C必定比他們大，因此沒權利坐上8個裏的第一第二的寶座，同理E和G也是。因此最大和次大值必定在B,C,H,F中產生。同理，最小和次小就會在A,D,H,F中產生。因此第二級結束後8個數中的最大，次大，最小，次小就肯定了。剩下四個再來一級比較一下就排序完成了。因此按照這種方法，8個數進行排序須要的二輸入比較器個數就是5*5=25個。編輯器

經評論區@SpiritzQAQ君的提示，確實後面三個4輸入模塊不必取完整，實際上能夠只用4輸入模塊中的後三個二輸入比較器，由於這幾級的輸入大小關係已經肯定，更改後的拓撲圖以下：

只須要5*2+3*3 = 19 個比較器。

3. 延伸思考

事實上，上面的硬件實現方式就是歸併排序的展開實現，歸併排序算法以下：

參考：https://www.cnblogs.com/onepixel/articles/7674659.html

歸併排序是創建在歸併操做上的一種有效的排序算法。該算法是採用分治法（Divide and Conquer）的一個很是典型的應用。將已有序的子序列合併，獲得徹底有序的序列；即先使每一個子序列有序，再使子序列段間有序。若將兩個有序表合併成一個有序表，稱爲2-路歸併。算法描述：

把長度爲n的輸入序列分紅兩個長度爲n/2的子序列；
對這兩個子序列分別採用歸併排序；
將兩個排序好的子序列合併成一個最終的排序序列。

再想一下，這一題最本質的問題實際上是：

給定n個數的排序，最少須要的比較次數是多少？

若是從信息論的角度來看，n個數的排序總共有種狀況，對應的信息量就是，而一次比較得到的信息量 .因此理論的最少比較次數就是：。能夠發現當n=4時，理論比較次數爲 , 向上取整就是5，跟咱們的電路中用到的比較器個數相同。可是當n=8時，理論的最少比較次數是 ,也就是須要16次比較。那爲何咱們這裏用到了25個比較器呢？實際上這是由於題目限制了咱們只能使用比較器，而要實現理論最小的比較次數還須要其餘邏輯的支持，好比MUX。因此上述19個比較器只是歸併排序算法的一種硬件實現方式，但並不必定是比較次數最少的硬件實現方式（考慮使用其餘邏輯的話）。

PS: 5個數排序的理論最少排序次數（7）的一種比較邏輯：5個數排序最少比較次數^[1]

使用這種方法推導8個數的最少比較次數能夠得出最少須要18次，但仍然不是理論最少的。聽說理論最少的比較次數並不必定能達到。

參考資料

[1]

5個數排序最少比較次數: https://blog.csdn.net/x_i_y_u_e/article/details/45059725?utm_medium=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.edu_weight&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.edu_weight

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