（二）神經網絡入門之Logistic迴歸（分類問題）

做者：chen_h
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這篇教程是翻譯 Peter Roelants寫的神經網絡教程，做者已經受權翻譯，這是 原文。

該教程將介紹如何入門神經網絡，一共包含五部分。你能夠在如下連接找到完整內容。

• （一）神經網絡入門之線性迴歸
• Logistic分類函數
• （二）神經網絡入門之Logistic迴歸（分類問題）
• （三）神經網絡入門之隱藏層設計
• Softmax分類函數
• （四）神經網絡入門之矢量化
• （五）神經網絡入門之構建多層網絡

Logistic迴歸（分類問題）

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這部分教程將介紹一部分：

• Logistic分類模型

咱們在上次的教程中給出了一個很簡單的模型，只有一個輸入和一個輸出。在這篇教程中，咱們將構建一個二分類模型，輸入參數是兩個變量。這個模型在統計上被稱爲Logistic迴歸模型，網絡結構能夠被描述以下：

咱們先導入教程須要使用的軟件包。

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
from matplotlib.colors import colorConverter, ListedColormap
from matplotlib import cm

定義類分佈

在教程中，目標分類t將從兩個獨立分佈中產生，當t=1時，用藍色表示。當t=0時，用紅色表示。輸入參數X是一個N*2的矩陣，目標分類t是一個N * 1的向量。更直觀的表現，見下圖。

# Define and generate the samples
nb_of_samples_per_class = 20  # The number of sample in each class
red_mean = [-1,0]  # The mean of the red class
blue_mean = [1,0]  # The mean of the blue class
std_dev = 1.2  # standard deviation of both classes
# Generate samples from both classes
x_red = np.random.randn(nb_of_samples_per_class, 2) * std_dev + red_mean
x_blue = np.random.randn(nb_of_samples_per_class, 2) * std_dev + blue_mean

# Merge samples in set of input variables x, and corresponding set of output variables t
X = np.vstack((x_red, x_blue))
t = np.vstack((np.zeros((nb_of_samples_per_class,1)), np.ones((nb_of_samples_per_class,1))))

# Plot both classes on the x1, x2 plane
plt.plot(x_red[:,0], x_red[:,1], 'ro', label='class red')
plt.plot(x_blue[:,0], x_blue[:,1], 'bo', label='class blue')
plt.grid()
plt.legend(loc=2)
plt.xlabel('$x_1$', fontsize=15)
plt.ylabel('$x_2$', fontsize=15)
plt.axis([-4, 4, -4, 4])
plt.title('red vs. blue classes in the input space')
plt.show()

Logistic函數和交叉熵損失函數

Logistic函數

咱們設計的網絡的目的是從輸入的x去預測目標t。假設，輸入x = [x1, x2]，權重w = [w1, w2]，預測目標t = 1。那麼，機率P(t = 1|x, w)將是神經網絡輸出的y，即y = σ(x∗wT)。其中，σ表示Logistic函數，定義以下：

若是，對於Logistic函數和它的導數還不是很清楚的，能夠查看這個教程，裏面進行了詳細描述。

交叉熵損失函數

對於這個分類問題的損失函數優化，咱們使用交叉熵偏差函數來解決，對於每一個訓練樣本i，交叉熵偏差函數定義以下：

若是咱們要計算整個訓練樣本的交叉熵偏差，那麼只須要把每個樣本的值進行累加就能夠了，即：

關於交叉熵偏差函數更加詳細的介紹能夠看這個教程。

logistic(z)函數實現了Logistic函數，cost(y, t)函數實現了損失函數，nn(x, w)實現了神經網絡的輸出結果，nn_predict(x, w)實現了神經網絡的預測結果。

# Define the logistic function
def logistic(z): 
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

# Define the neural network function y = 1 / (1 + numpy.exp(-x*w))
def nn(x, w): 
    return logistic(x.dot(w.T))

# Define the neural network prediction function that only returns
#  1 or 0 depending on the predicted class
def nn_predict(x,w): 
    return np.around(nn(x,w))
    
# Define the cost function
def cost(y, t):
    return - np.sum(np.multiply(t, np.log(y)) + np.multiply((1-t), np.log(1-y)))

# Plot the cost in function of the weights
# Define a vector of weights for which we want to plot the cost
nb_of_ws = 100 # compute the cost nb_of_ws times in each dimension
ws1 = np.linspace(-5, 5, num=nb_of_ws) # weight 1
ws2 = np.linspace(-5, 5, num=nb_of_ws) # weight 2
ws_x, ws_y = np.meshgrid(ws1, ws2) # generate grid
cost_ws = np.zeros((nb_of_ws, nb_of_ws)) # initialize cost matrix
# Fill the cost matrix for each combination of weights
for i in range(nb_of_ws):
    for j in range(nb_of_ws):
        cost_ws[i,j] = cost(nn(X, np.asmatrix([ws_x[i,j], ws_y[i,j]])) , t)
# Plot the cost function surface
plt.contourf(ws_x, ws_y, cost_ws, 20, cmap=cm.pink)
cbar = plt.colorbar()
cbar.ax.set_ylabel('$\\xi$', fontsize=15)
plt.xlabel('$w_1$', fontsize=15)
plt.ylabel('$w_2$', fontsize=15)
plt.title('Cost function surface')
plt.grid()
plt.show()

梯度降低優化損失函數

梯度降低算法的工做原理是損失函數ξ對於每個參數的求導，而後沿着負梯度方向進行參數更新。

參數w按照必定的學習率沿着負梯度方向更新，即w(k+1)=w(k)−Δw(k+1)，其中Δw能夠表示爲：

對於每一個訓練樣本i，∂ξi/∂w計算以下：

其中，yi=σ(zi)是神經元的Logistic輸出，zi=xi∗wT是神經元的輸入。

在詳細推導損失函數對於權重的導數以前，咱們先這個教程中摘取幾個推導。

參考上面的分步推導，咱們能夠獲得下面的詳細推導：

所以，對於每一個權重的更新Δwj能夠表示爲：

在批處理中，咱們須要將N個樣本的梯度都進行累加，即：

在開始梯度降低算法以前，你須要對參數都進行一個隨機數賦值過程，而後採用梯度降低算法更新參數，直至收斂。

gradient(w, x, t)函數實現了梯度∂ξ/∂w，delta_w(w_k, x, t, learning_rate)函數實現了Δw。

# define the gradient function.
def gradient(w, x, t):
    return (nn(x, w) - t).T * x

# define the update function delta w which returns the 
#  delta w for each weight in a vector
def delta_w(w_k, x, t, learning_rate):
    return learning_rate * gradient(w_k, x, t)

梯度降低更新

咱們在訓練集X上面運行10次去作預測，下圖中畫出了前三次的結果，圖中藍色的點表示在第k次，w(k)的值。

# Set the initial weight parameter
w = np.asmatrix([-4, -2])
# Set the learning rate
learning_rate = 0.05

# Start the gradient descent updates and plot the iterations
nb_of_iterations = 10  # Number of gradient descent updates
w_iter = [w]  # List to store the weight values over the iterations
for i in range(nb_of_iterations):
    dw = delta_w(w, X, t, learning_rate)  # Get the delta w update
    w = w-dw  # Update the weights
    w_iter.append(w)  # Store the weights for plotting

# Plot the first weight updates on the error surface
# Plot the error surface
plt.contourf(ws_x, ws_y, cost_ws, 20, alpha=0.9, cmap=cm.pink)
cbar = plt.colorbar()
cbar.ax.set_ylabel('cost')

# Plot the updates
for i in range(1, 4): 
    w1 = w_iter[i-1]
    w2 = w_iter[i]
    # Plot the weight-cost value and the line that represents the update
    plt.plot(w1[0,0], w1[0,1], 'bo')  # Plot the weight cost value
    plt.plot([w1[0,0], w2[0,0]], [w1[0,1], w2[0,1]], 'b-')
    plt.text(w1[0,0]-0.2, w1[0,1]+0.4, '$w({})$'.format(i), color='b')
w1 = w_iter[3]  
# Plot the last weight
plt.plot(w1[0,0], w1[0,1], 'bo')
plt.text(w1[0,0]-0.2, w1[0,1]+0.4, '$w({})$'.format(4), color='b') 
# Show figure
plt.xlabel('$w_1$', fontsize=15)
plt.ylabel('$w_2$', fontsize=15)
plt.title('Gradient descent updates on cost surface')
plt.grid()
plt.show()

訓練結果可視化

下列代碼，咱們將訓練的結果進行可視化。

# Plot the resulting decision boundary
# Generate a grid over the input space to plot the color of the
#  classification at that grid point
nb_of_xs = 200
xs1 = np.linspace(-4, 4, num=nb_of_xs)
xs2 = np.linspace(-4, 4, num=nb_of_xs)
xx, yy = np.meshgrid(xs1, xs2) # create the grid
# Initialize and fill the classification plane
classification_plane = np.zeros((nb_of_xs, nb_of_xs))
for i in range(nb_of_xs):
    for j in range(nb_of_xs):
        classification_plane[i,j] = nn_predict(np.asmatrix([xx[i,j], yy[i,j]]) , w)
# Create a color map to show the classification colors of each grid point
cmap = ListedColormap([
        colorConverter.to_rgba('r', alpha=0.30),
        colorConverter.to_rgba('b', alpha=0.30)])

# Plot the classification plane with decision boundary and input samples
plt.contourf(xx, yy, classification_plane, cmap=cmap)
plt.plot(x_red[:,0], x_red[:,1], 'ro', label='target red')
plt.plot(x_blue[:,0], x_blue[:,1], 'bo', label='target blue')
plt.grid()
plt.legend(loc=2)
plt.xlabel('$x_1$', fontsize=15)
plt.ylabel('$x_2$', fontsize=15)
plt.title('red vs. blue classification boundary')
plt.show()

完整代碼，點擊這裏

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做者：chen_h
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