js數據結構和算法（三）二叉樹

二叉樹的概念

二叉樹（Binary Tree）是n（n>=0）個結點的有限集合，該集合或者爲空集（空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱爲根結點的左子樹和右子樹的二叉樹組成。

二叉樹的特色

每一個結點最多有兩棵子樹，因此二叉樹中不存在度大於2的結點。二叉樹中每個節點都是一個對象，每個數據節點都有三個指針，分別是指向父母、左孩子和右孩子的指針。每個節點都是經過指針相互鏈接的。相連指針的關係都是父子關係。

二叉樹節點的定義

二叉樹節點定義以下：

struct BinaryTreeNode
{
    int m_nValue;
    BinaryTreeNode* m_pLeft;
    BinaryTreeNode* m_pRight;
};

二叉樹的五種基本形態

空二叉樹
只有一個根結點
根結點只有左子樹
根結點只有右子樹
根結點既有左子樹又有右子樹

擁有三個結點的普通樹只有兩種狀況：兩層或者三層。但因爲二叉樹要區分左右，因此就會演變成以下的五種形態：

特殊二叉樹

斜樹

如上面倒數第一副圖的第二、3小圖所示。

滿二叉樹

在一棵二叉樹中，若是全部分支結點都存在左子樹和右子樹，而且全部葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹。以下圖所示：

徹底二叉樹

徹底二叉樹是指最後一層左邊是滿的，右邊可能滿也可能不滿，而後其他層都是滿的。一個深度爲k，節點個數爲 2^k - 1 的二叉樹爲滿二叉樹（徹底二叉樹）。就是一棵樹，深度爲k，而且沒有空位。

徹底二叉樹的特色有：

葉子結點只能出如今最下兩層。

最下層的葉子必定集中在左部連續位置。

倒數第二層，如有葉子結點，必定都在右部連續位置。

若是結點度爲1，則該結點只有左孩子。

一樣結點樹的二叉樹，徹底二叉樹的深度最小。

注意：滿二叉樹必定是徹底二叉樹，但徹底二叉樹不必定是滿二叉樹。

算法以下：

bool is_complete(tree *root)  
{  
    queue q;  
    tree *ptr;  
    // 進行廣度優先遍歷（層次遍歷），並把NULL節點也放入隊列  
    q.push(root);  
    while ((ptr = q.pop()) != NULL)  
    {  
        q.push(ptr->left);  
        q.push(ptr->right);  
    }  

    // 判斷是否還有未被訪問到的節點  
    while (!q.is_empty())  
    {  
        ptr = q.pop();  

        // 有未訪問到的的非NULL節點，則樹存在空洞，爲非徹底二叉樹  
        if (NULL != ptr)  
        {  
            return false;  
        }  
    }  

    return true;  
}

二叉樹的性質

二叉樹的性質一：在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點(i>=1)

二叉樹的性質二：深度爲k的二叉樹至多有2^k-1個結點(k>=1)

二叉樹的順序存儲結構

二叉樹的順序存儲結構就是用一維數組存儲二叉樹中的各個結點，而且結點的存儲位置能體現結點之間的邏輯關係。

二叉鏈表

既然順序存儲方式的適用性不強，那麼咱們就要考慮鏈式存儲結構啦。二叉樹的存儲按照國際慣例來講通常也是採用鏈式存儲結構的。

二叉樹每一個結點最多有兩個孩子，因此爲它設計一個數據域和兩個指針域是比較天然的想法，咱們稱這樣的鏈表叫作二叉鏈表。

二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷(traversing binary tree)是指從根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中全部結點，使得每一個結點被訪問一次且僅被訪問一次。

二叉樹的遍歷有三種方式，以下：

（1）前序遍歷（DLR），首先訪問根結點，而後遍歷左子樹，最後遍歷右子樹。簡記根-左-右。

（2）中序遍歷（LDR），首先遍歷左子樹，而後訪問根結點，最後遍歷右子樹。簡記左-根-右。

（3）後序遍歷（LRD），首先遍歷左子樹，而後遍歷右子樹，最後訪問根結點。簡記左-右-根。

前序遍歷：

若二叉樹爲空，則空操做返回，不然先訪問根結點，而後前序遍歷左子樹，再前序遍歷右子樹。

遍歷的順序爲：A B D H I E J C F K G

//先序遍歷
function preOrder(node){
    if(!node == null){
        putstr(node.show()+ " ");
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }
}

中序遍歷：

若樹爲空，則空操做返回，不然從根結點開始（注意並非先訪問根結點），中序遍歷根結點的左子樹，而後是訪問根結點，最後中序遍歷右子樹。

遍歷的順序爲：H D I B E J A F K C G

//使用遞歸方式實現中序遍歷
function inOrder(node){
    if(!(node == null)){
        inOrder(node.left);//先訪問左子樹
        putstr(node.show()+ " ");//再訪問根節點
        inOrder(node.right);//最後訪問右子樹
    }
}

後序遍歷：

若樹爲空，則空操做返回，不然從左到右先葉子後結點的方式遍歷訪問左右子樹，最後訪問根結點。

遍歷的順序爲：H I D J E B K F G C A

//後序遍歷
function postOrder(node){
    if(!node == null){
        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        putStr(node.show()+ " ");
    }
}

實現二叉查找樹

二叉查找樹（BST）由節點組成，因此咱們定義一個Node節點對象以下：

function Node(data,left,right){
    this.data = data;
    this.left = left;//保存left節點連接
    this.right = right;
    this.show = show;
}


function show(){
    return this.data;//顯示保存在節點中的數據
}

查找最大和最小值

查找BST上的最小值和最大值很是簡單，由於較小的值老是在左子節點上，在BST上查找最小值，只需遍歷左子樹，直到找到最後一個節點

查找最小值

function getMin(){
    var current = this.root;
    while(!(current.left == null)){
        current = current.left;
    }
    return current.data;
}

該方法沿着BST的左子樹挨個遍歷，直到遍歷到BST最左的節點，該節點被定義爲：

current.left = null;

這時，當前節點上保存的值就是最小值

查找最大值

在BST上查找最大值只須要遍歷右子樹，直到找到最後一個節點，該節點上保存的值就是最大值。

function getMax(){
    var current = this.root;
    while(!(current.right == null)){
        current = current.right;
    }
    return current.data;
}

二叉樹相關題目：http://blog.csdn.net/luckyxiaoqiang/article/details/7518888