洛谷P5644 [PKUWC2018] 獵人殺

有個結論，原問題能夠轉化爲每次開槍的機率中的分母不變，當射到一個已經死掉的獵人時，就繼續開槍，不難發現這樣射中第 \(i\) 我的的機率和原問題同樣，設 \(W=\sum\limits_{i=1}^n w_i\)，\(T\) 爲已經死掉的獵人的 \(w_i\) 的和，得：

\[\large\left( \sum_{j=0}^\infty \left(\frac{T}{W}\right)^j\right)\frac{w_i}{W}=\frac{w_i}{W-T} \]

考慮容斥，枚舉一個獵人集合 \(S\)，集合內的獵人都要在 \(1\) 以後被射死，得答案爲：

\[\large\begin{aligned} &\sum_S(-1)^{|S|}\sum_{i=0}^\infty\left( 1-\frac{\sum\limits_{j\in S}w_j+w_1}{W} \right)\frac{w_1}{W}\\ =&w_1\sum_S\frac{(-1)^{|S|}}{\sum\limits_{j\in S}w_j+w_1}\\ =&w_1\sum_{i=0}^{W-w_1}\frac{\left[x^i\right]\prod\limits_{i=2}^n\left(1-x^{w_i}\right)}{i+w_1}\\ \end{aligned} \]

\(\prod\limits_{i=2}^n\left(1-x^{w_i}\right)\) 用分治和 \(NTT\) 便可計算。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 400010
#define p 998244353
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
int n,m,w,sum,ans;
ll rev[maxn],inv[maxn],len[maxn],v[maxn],f[maxn];
int mod(int x)
{
    return x>=p?x-p:x;
}
ll qp(ll x,ll y)
{
    ll v=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) v=v*x%p;
        x=x*x%p,y>>=1;
    }
    return v;
}
int calc(int n)
{
    int lim=1;
    while(lim<=n) lim<<=1;
    for(int i=0;i<lim;++i)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?lim>>1:0);
    return lim;
}
void NTT(ll *a,int lim,int type)
{
    for(int i=0;i<lim;++i)
        if(i<rev[i])
            swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int len=1;len<lim;len<<=1)
    {
        ll wn=qp(3,(p-1)/(len<<1));
        for(int i=0;i<lim;i+=len<<1)
        {
            ll w=1;
            for(int j=i;j<i+len;++j,w=w*wn%p)
            {
                ll x=a[j],y=w*a[j+len]%p;
                a[j]=mod(x+y),a[j+len]=(x-y+p)%p;
            }
        }
    }
    if(type==1) return;
    for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=a[i]*inv[lim]%p;
    reverse(a+1,a+lim);
}
void solve(int l,int r,ll *a,int x)
{
    if(l==r)
    {
        for(int i=0;i<=v[l];++i) a[i]=0;
        a[0]=1,a[v[l]]=p-1,len[x]=v[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1,lim;
    ll f[maxn],g[maxn];
    solve(l,mid,f,ls),solve(mid+1,r,g,rs),lim=calc(len[x]=len[ls]+len[rs]);
    for(int i=len[ls]+1;i<lim;++i) f[i]=0;
    for(int i=len[rs]+1;i<lim;++i) g[i]=0;
    NTT(f,lim,1),NTT(g,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=f[i]*g[i]%p;
    NTT(a,lim,-1);
    for(int i=len[x]+1;i<lim;++i) a[i]=0;
}
int main()
{
    read(n),read(w),sum=w;
    for(int i=1;i<n;++i) read(v[i]),sum+=v[i];
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=2*sum;++i) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    solve(1,n-1,f,1);
    for(int i=0;i<=sum-w;++i) ans=mod(ans+f[i]*inv[i+w]%p);
    printf("%d",(ll)ans*w%p);
    return 0;
}