{HDU}{2516}{取石子游戲}{斐波那契博弈}

題意：給定一堆石子，每一個人最多取前一我的取石子數的2被，最少取一個，最後取石子的爲贏家，求贏家。

思路：斐波那契博弈，這個題的證實過程太精彩了！

一個重要的定理：任何正整數均可以表示爲若干個不連續的斐波那契數的和。

1、概括法證實斐波那契數列是必敗點

爲了方便，咱們將n記爲f[i]。

一、當i=2時，先手只能取1顆，顯然必敗，結論成立。

二、假設當i<=k時，結論成立。

     則當i=k+1時，f[i] = f[k]+f[k-1]。

     則咱們能夠把這一堆石子當作兩堆，簡稱k堆和k-1堆。

    （必定能夠當作兩堆，由於假如先手第一次取的石子數大於或等於f[k-1]，則後手能夠直接取完f[k]，由於f[k] < 2*f[k-1]）

     對於k-1堆，由假設可知，不論先手怎樣取，後手總能取到最後一顆。下面咱們分析一下後手最後取的石子數x的狀況。

     若是先手第一次取的石子數y>=f[k-1]/3，則這小堆所剩的石子數小於2y，即後手能夠直接取完，此時x=f[k-1]-y，則x<=2/3*f[k-1]。

     咱們來比較一下2/3*f[k-1]與1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]與3*f[k]的大小，對兩值做差後不可貴出，後者大。

     因此咱們獲得，x<1/2*f[k]。

     即後手取完k-1堆後，先手不能一下取完k堆，因此遊戲規則沒有改變，則由假設可知，對於k堆，後手仍能取到最後一顆，因此後手必勝。

     即i=k+1時，結論依然成立。

2、概括法證實非斐波那契數爲必勝點

將g[n]=f[a1]+f[a2]+...+f[ap]，其中f[ai]爲斐波那契數，先手取最小的堆f[ap]，後手只能取f[a(p-1)]，這樣就成了面對後手先取斐波那契數的局面，必敗，從而先手必勝。

不得不認可，這兩步證實很nice，第一步證實的嚴謹，第二步證實的漂亮，大腦運做的還不是很快啊~

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特別感謝：

http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7835016

http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7602807

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