「關於一種處理關於$p$成多項式的數論函數篩法」

　　張博航原知乎網址

　　張博航原博客網址

引入：

　　給一個徹底積性函數$f$，求其前綴和

　　$$S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$$

初步思考：

　　考慮因爲所求函數爲徹底積性函數，咱們很容易用一個線性篩在$O(n)$的時間負責度內解決問題。

　　可是每每這類問題要求更加優秀的時間負責度，那麼線篩便不能知足咱們的須要，咱們須要更加優秀的作法。

　　咱們考慮一種最基礎的篩法：埃拉託斯特尼篩法。

　　在這種篩法的思路中，咱們只須要枚舉$\sqrt n$之內的質數，那麼咱們是否能夠引入這種想法呢？

進一步思考：

　　咱們考慮將$S(n)=\sum_{i=1}^n f(i)$換成與質數有關的表達形式。

　　咱們設$\tau(x) = x的最大質因子$。

　　那麼

　　$$S(n) = \sum _{i=2}^n\sum_{\tau(i)<p,i*p<=n}f(ip) + \sum_{i=2}^nf(i)[\tau^2(i)|i] + f(1) + \sum_{p=2}^n f(p)$$

　　$$\because \forall a,b\; f(ab)=f(a)f(b)$$

　　$$\therefore S(n)=\sum_{i=2}^nf(i)\sum_{\tau(i)<p,ip<=n,p==\tau (p)}f(p)+\sum_{i=2}^nf(i)[\tau^2(i)|i]+f(1)+\sum_{p=2}^nf(p)$$

　　咱們來看這個式子。

　　咱們發現前兩部分枚舉的$i$所含質數$p$必然$p<=\sqrt n$。

　　那麼咱們使用DFS來枚舉這些$i$會發現枚舉量爲:$$n-\sum_{i=\sqrt n+1,i=\tau(i)}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$$

　　這個式子我並不會算……

　　可是經過張博航的博客，這個式子的結果是約等爲$\frac{n^{\frac{3}{4}}}{ln n}$存在必定的常數。

思考算法設計：

　　那麼問題就變成了如何去求$\sum_{\tau(i)<p,ip<=n}f(p)$以及$\sum_{p=2,p=\tau(p)}f(p)$。

　　咱們發現後者實際上是能夠看做於前者是一類的。

　　那麼設$S'(n)=\sum_{p=2,p=\tau(p)}f(p)$，即上式爲$S'(\frac{n}{i})-S'(\tau(i))$來表示的。

　　因爲除法分塊咱們能夠知道$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$取值僅有$\sqrt n$級別個，同時$\tau(i) <=\sqrt n$。

　　那麼咱們設$$a_i = S'(i),b_i=S'(\frac{n}{i}),i\leqslant \sqrt n$$

　　那麼考慮如何求出$S'$。

　　咱們先將全部數都看作質數，那麼此後咱們從小到大枚舉一個每一個小於$\sqrt n$的質數$p$，那麼

　　$$S'(i)=S'(i)-f(p)(S'(\frac{i}{p})-S'(p-1))$$

　　考慮用數學概括法證實：

　　首先當$p==2$時，此式顯然獲得的是去掉全部含「2」因子的合數。

　　那麼設此式在以前質數中都是正確的，此時枚舉到了$p$。同時設$\zeta i = i的最小質因數$

　　那麼咱們考慮此時

　　　　$S'(x)=\sum_{i=2,i=\tau(p),i<p}f(p) + \sum_{i=p}^x [\zeta(i)>=p]f(i)$

　　那麼

　　　　$f(p)(S'(\frac{i}{p})-S'(p-1) )= \sum_{j=p}^{\frac{i}{p}} [\zeta(i)>=p] f(i*p)$

　　即此時咱們給$S'(i)$刪去了所含質因數均大於等於$p$的合數。故上式當處理到$\sqrt n$時是正確的。

　　

　　咱們再考慮如何求出$a,b$數組。

　　顯然咱們要從小到大枚舉每一個質數，再從大到小枚舉每個有用的$i$。而後考慮：

　　1)  若$i>\sqrt n$那麼其對應位置必定在$b$數組出現過。

　　2)  若$\frac{i}{p}>sqrt n$那麼其對應位置也必然在$b$中出現，這是因爲$i$是由$\frac {n} {j}$獲得的。

　　　那麼$\frac{i}{p}$就等價於$\lfloor \frac{ \frac{n}{j} }{p} \rfloor= \frac {n} {jp}$顯然$jp<=\sqrt n$ 那麼其此時$\frac{i}{p}$必定在b中出現過。

　　3） 若$i<=\sqrt n$ 那麼其必然出如今$a$中，$\frac{i}{p}$同理。

　　也就是說對於用每一個$p$來更新$a,b$須要且僅須要$a,b$數組。

　　考慮求$a,b$的時間複雜度約爲：

　　$ \sum_{i=2,i=\tau i} (2\sqrt n - i^2) $。

　　這個東西，應該約爲$\frac {2n^\frac{3}{4}} {3ln(\sqrt n)}$。考慮枚舉第一部分$i$具備常數。這兩部分應該是很接近的。

算法使用範圍：

　　假設咱們能夠將一個函數寫成關於$p$的$k$階多項式形式的話，咱們就能夠利用上面描述的篩法，在$k\frac{n^\frac{3}{4}}{lnn}$時間內獲得答案。

======update======

　　這個彷佛和min_25篩很像？