素數斷定算法
1. 素數斷定問題html
素數斷定問題是一個很是常見的問題，本文介紹了經常使用的幾種斷定方法。算法
2. 原始算法數據結構
素數的定義是，除了能被1和它自己整除而不能被其餘任何數整除的數。根據素數定義 只須要用2到n-1去除n，若是都除不盡，則n是素數，不然，只要其中有一個數能整除則n不是素數。app
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bool
is_primer1(
int
num) {
int
i;
for
(i = 2; i < num; i++) {
if
(num % i == 0) {
return
true
;
}
}
return
false
;
}
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3. 改進算法post
n不是素數，則n可表示爲a*b，其中2<=a<=b<=n-1,則a，b中必有一個數知足：1<x<=sqrt(n)，於是，只須要用2~sqrt(n)去除n，這樣就獲得一個複雜度爲O(sqrt(n))的算法優化
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bool
is_primer2(
int
num) {
int
i;
int
upper =
sqrt
(num);
printf
(
"primer2:%d\n"
, upper);
for
(i = 2; i <= upper; i++) {
if
(num % i == 0) {
return
true
;
}
}
return
false
;
}
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4. 篩選算法url
更高效地素數判斷方法應該是將素數預先保存到一個素數表中，當判斷一個數是否爲素數時，直接查表便可。這種方法須要解決兩個問題：spa
(1) 怎樣快速獲得素數表？（採用篩選方法）.net
(2) 怎樣減小素數表的大小？（採用位圖數據結構）code
對於1到n所有整數，逐個判斷它們是不是素數，找出一個非素數，就把它挖掉，最後剩下的就是素數。具體方法是：
<1> 定義is_primer[i] = true;
<2> 從2開始，依次遍歷整個is_primer(直到sqrt(N))，若是is_primer[i]=true,則is_primer[n*i]=false
如1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，則
從2開始遍歷：
is_primer[2]=true，則is_primer[4]= is_primer[6]= is_primer[8]= is_primer[10]= true
is_primer[3]=true，則is_primer[6]= is_primer[9]= true
爲了減小內存使用率，算法使用了位圖數據結構，關於位圖，可參考：http://dongxicheng.org/structure/bitmap/
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bool
load_primer_table1() {
//保存素數表
int
i;
for
(i = 1; i < INT_MAX; i++) {
if
(i % 2 != 0
//偶數必定不是素數
&& is_primer2(i)) {
set(i);
}
}
}
bool
load_primer_table2() {
//另外一種更快的方法保存素數表
int
i, j;
for
(i = 1; i <= INT_MAX; i++) {
if
( i % 2) {
set(i);
}
else
{
clear(i);
}
}
int
upper =
sqrt
(INT_MAX);
for
(i = 1; i <= upper; i++) {
if
(test(i)) {
for
(j = i + i; j < INT_MAX; j += i)
set(i);
}
}
}
bool
is_primer3(
long
num) {
//查表判斷是否爲素數
if
(test(num))
return
true
;
return
false
;
}
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5. 優化的篩選算法
(1) 存儲方式優化
仍然採用位圖方式存儲，只不過是位圖中只存儲奇數，這樣一會兒節省了一半空間（須要的空間僅爲4G/(32*2)=64MB）
存儲空間優化後，算法效率也會提高不少，如：1,2，…,30
只需存儲3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29
i=0, is_primer[0] =true, 把下標[3][6][9][12]，即9,15,21,27,標爲false
i=1, s_primer[0] =true,把下標爲[6][11],即15,25標爲false
i=2, 2*i+3>sqrt(30),結束
即：i=s, 把下標爲s(2*t+1)+3t,其中，t=1,2,3，…中全部的的is_primer置爲false
(2) 優化刪選算法
a是素數，則下一個起點是a*a,把後面的全部的a*a+2*i*a篩掉。即欲求n之內的素數，就先把sqrt(n)內的素數求出來，用已經求得的素數來篩出後面的合數。
6. 總結
至今爲止，沒有任何人發現素數的分佈規律，也沒有人能用一個公式計算出全部的素數。關於素數的不少的有趣的性質或者科學家的努力，如：
(1) 高斯猜想，n之內的素數個數大約與n/ln(n)至關，或者說，當n很大時，二者數量級相同。這就是著名的素數定理。
(2) 十七世紀費馬猜想，2的2^n次方+1，n=0，1，2…時是素數，這樣的數叫費馬素數，惋惜當n=5時，2^32+1就不是素數，至今也沒有找到第六個費馬素數。
(3) 18世紀發現的最大素數是2^31-1，19世紀發現的最大素數是2^127-1，20世紀末人類已知的最大素數是2^859433-1，用十進制表示，這是一個258715位的數字。
(4) 孿生素數猜測：差爲2的素數有無窮多對。目前知道的最大的孿生素數是1159142985×2^2304－1和1159142985×2^2304＋1。
(5) 歌德巴赫猜測：大於2的全部偶數均是兩個素數的和，大於5的全部奇數均是三個素數之和。其中第二個猜測是第一個的天然推論，所以歌德巴赫猜測又被稱爲1+1問題。我國數學家陳景潤證實了1+2，即全部大於2的偶數都是一個素數和只有兩個素數因數的合數的和。國際上稱爲陳氏定理。（摘自《http://chuanbindeng.blog.163.com/blog/static/67886226200982892139468/》）
7. 參考資料
http://www.doc88.com/p-5780302974.html
http://chuanbindeng.blog.163.com/blog/static/67886226200982892139468/