『筆記』高斯-約旦消元

時間 2021-02-01

標籤算法數組 spa get 數學 ast 模板 class 變量方法欄目應用數學简体版

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前言

高斯消元法是求解線性方程組的經典算法，它在當代數學中有着重要的地位和價值，是線性代數課程教學的重要組成部分。算法

高斯消元法除了用於線性方程組求解外，還能夠用於行列式計算、求矩陣的逆，以及其餘計算機和工程方面。數組

矩陣的定義

定義由\(M\times N\)個數\(A_{i,j}\)按照必定的順序排列成的矩陣表spa

\[\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \cdots & a_{m,n} \\ \end{bmatrix} \]

簡記爲 \(M\times N\) 矩陣，讀做 \(M\) 乘 \(N\) 矩陣，橫的各排叫作矩陣的行，縱的各列叫作矩陣的列get

例如用\(A\) 來表示矩陣，也能夠記做 \((A_{I,J})_{m\times n}\) ,說明 \(A\) 是一個以 \(A_{I,J}\) 爲元素的 \(M\) 行 \(N\) 列的矩陣數學

正方矩陣

在通常的矩陣中，若是行和列相等，那麼這種矩陣就稱爲正方矩陣，簡稱方陣ast

例如模板

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 &1\\ 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\]

就是一個三階方陣class

行矩陣

例如，\((1,2,3,4)\) 就是一個行矩陣，實際上就是一個由 \(4\) 個數組成的有序數組變量

列矩陣

\[\begin{bmatrix} 1 \\2 \\3 \\4 \end{bmatrix}\]

一個矩陣的列數爲 \(1\) 則稱爲列矩陣，一樣也是一個有序數組方法

單位矩陣

若是一個矩陣中主對角線上的元素\(A_{I,J}(I=J)\) 全是 \(1\) ，其餘的全是 \(0\) ,那麼則稱這個方陣爲單位矩陣 記做 \(I\)

零矩陣

例如

\[\begin{bmatrix} 0&0&0&0 \\0&0&0&0 \\0&0&0&0 \\0&0&0&0 \end{bmatrix}\]

元素全爲 \(0\) 的矩陣稱爲零矩陣

消元法

消元法是將方程組中的一個方程的未知數用含有另一個未知數的帶代數式表示，並將其代入到另一個方程中，這樣就消除掉了一個爲止數，獲得了一個解，或者是將方程式組中的某一個方程倍乘上某一個常數，加（減）到另一個方程中去，也能夠作到消去一個未知數。消元法普遍應用於二元一次方程組的求解

例: 用消元法求解二元一次方程組

\[\begin{cases} 2x+y=100\\ 4x-y=200 \end{cases}\]

解：經過將兩個方程相加便可消去 \(y\) 獲得

\[5x=300 \]

\[x=50 \]

代入到第二個方程中便可獲得

\[y=0 \]

消元法的核心主要是有如下結論:

兩方程互換，解不變
一個方程乘以一個非零實數 \(k\) ，方程的解不變
一個方程乘以數 \(k\) 加（減）上另一個方程，解不變

高斯消元

帶數學家高斯發現瞭如下結論：

在消元法中，參與計算和發生改變的是方程中每一個變量的係數
各個變量並無參與計算，且沒有發生改變
能夠利用係數的位置來表示變量，從而起到省略變量簡化運算的效果
在計算中能夠將變量簡化省略，方程的解不變

然而我並不會高斯消元，這裏僅講述另外一種消元方法，高斯-約旦消元法

高斯-約旦消元

思想以下：

最終目的爲將矩陣經過加減消元最終變爲單位矩陣求解出全部答案來
首先枚舉每一列，肯定一個有着非零係數的該未知數做爲主元，將該方程中這個位置數的係數化爲 \(1\)
將每一行中（除了該未知數選中做爲主元的一行）當前位置的係數所有經過加減消元化爲 \(0\)
最後剩下的矩陣能夠表示爲這個樣子

\[\left[ \begin{array}{cccc|c} a_{1,1}&0&\cdots&0&b_{1,n+1} \\0&a_{2,2}&\cdots&0&b_{2,n+1} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\0&0&\cdots&a_{n,n}&b_{n,n+1} \end{array} \right] \]