計算機科學之算法——你不得不知的遞歸

遞歸

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簡介

程序調用自身的編程技巧稱爲遞歸 (recursion) 。遞歸作爲一種算法在程序設計語言中普遍應用。 一個過程或函數在其定義或說明中有直接或間接調用自身的一種方法，它一般把一個大型複雜的問題層層轉化爲一個與原問題類似的規模較小的問題來求解，遞歸策略只需少許的程序就可描述出解題過程所須要的屢次重複計算，大大地減小了程序的代碼量。遞歸的能力在於用有限的語句來定義對象的無限集合。通常來講，遞歸須要有邊界條件、遞歸前進段和遞歸返回段。當邊界條件不知足時，遞歸前進；當邊界條件知足時，遞歸返回。

小例子

看着很抽象？那麼咱們舉一個具體的例子：假設有一天，你正在學校上課，你坐在最後一排，忽然你有一件重要的事情須要和第一排的同窗進行溝通，你又不能隨意走動，那麼你應該怎麼解決呢？因而你寫了一個小紙條，給你前面的同窗，而且告訴他轉交給第一排的同窗，因而前排同窗又將小紙條遞給了他的前排，循環往復，直到第一排的同窗收到小紙條。第一排的同窗看完小紙條，寫了他要對你說的話，因而他又將紙條遞給他的後座，一直遞到你爲止。這個小例子就是遞歸的本質思想，你的小紙條就是參數，而傳遞的過程，事實上都是在執行傳遞函數的自己。

若是用編程語言來體現剛纔的小例子，那麼代碼就是

string Deliver(int row,string msg)
{
    if(row == 1)
    {
        return "Read:" + msg;
    }
    return Deliver(--row,msg);
}

再舉一個例子，斐波那契數列是一個很常見的數列，它的通項公式是 $f(n+2) = f(n) + f(n+1)$,咱們能夠發現，它並無說起斐波那契數列的表達式，而是給了一個抽象的函數遞推式，那麼這個時候咱們就可使用遞歸，將問題簡化成一個遞推的內容而不是具體的實現。用代碼則是

int fib(int n)
{
    if(n == 1 || n == 2)
    {
        return 1
    }
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

一般，遞歸必須擁有遞推式和跳出條件，由於這能夠保證函數不會爆棧，咱們要從三個角度去作一個遞歸：

• 遞歸的定義：接受什麼參數，返回什麼值，表明什麼意思 。當函數直接或者間接調⽤⾃⼰時，則發⽣了遞歸
• 遞歸的拆解：每次遞歸都是爲了讓問題規模變⼩
• 遞歸的出⼝：必須有⼀個明確的結束條件。由於遞歸就是有「遞」有「歸」，因此必須又有一個明確的點，到了這個點，就不用「遞下去」，而是開始「歸來」。

總而言之，遞歸就是儘量忽略函數內部的實現，主要關注函數總體須要作的事情。

遞歸的本質

經過上述的小例子，你可能已經理解了遞歸的含義，可是爲何經過函數調用函數這種「詭異」的操做能夠實現咱們的內容呢？若是你在閱讀本篇文章以前已經有了一些基礎的數據結構和程序語言知識，那麼你會知道函數的調用是在棧中實現的，當函數嵌套調用時，系統會將這些函數壓入棧中，而棧是先進後出的性質，那麼當遞歸調用時，會一次性將函數壓棧到能夠return的那個子函數，而後子函數執行完畢返回後，再將返回值帶給父函數，再執行父函數。也就是說，遞歸其實就是一個隱式的棧。

經過這個進棧出棧的過程，一個大的抽象問題就被分解成了若干個嵌套的子問題，子問題一層一層被解決，直到最後一個起始層。

簡單的解釋就是，遞歸事實上也是兩個問題

遞：將問題不斷細化直到最小，例如斐波那契數列的問題，fib(5)在程序中的遞大體是

fib(5) = fib(4) + fib(3);
fib(5) = (fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))
fib(5) = ((fib(2) + fib(1)) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1));

歸過程就是將上述遞過程的子問題逐步返回到頂層。

整個過程和咱們往第一排傳紙條再傳回來是徹底一致的。

遞歸的用途

咱們會發現遞歸很是的節省代碼，並且看起來彷佛也沒有空間損耗。但真的是這樣的嗎？答案確定是否的。誠然，遞歸會讓代碼的簡潔程度和可讀性大幅上漲（可讀性上升，可是並不容易被理解和Debug），可是遞歸也並非何時都是好的。

首先遞歸最經常使用的地方就是鏈表、樹、圖等含指針的數據結構的操做和計算，由於在這種地方，使用隊列、棧等輔助的數據結構會使得代碼很是長，而且對於許多算法羸弱的碼農並不容易寫出來。例如樹的中序遍歷，對於非遞歸的方法，你須要藉助棧，而且嚴格的須要保證入棧順序。而對於後序遍歷，你可能還須要藉助哈希表來保證左右節點已經被訪問，這顯然很差。對於遞歸，只有短短的幾行

void InOrder(Tree tree)
{
    if (tree == null)
        return;
    InOrder(tree.Left);
    Console.WriteLine(tree.Value);
    InOrder(tree.Right);
}
void PostOrder(Tree tree)
{
    if (tree == null)
        return;
    PostOrder(tree.Left);
    PostOrder(tree.Right);
    Console.WriteLine(tree.Value);
}

相比於普通的代碼顯得更加簡潔明瞭。

自頂向下與自底向上

可是有時候遞歸會形成嚴重的性能問題，尤爲會致使棧溢出的問題，事實上函數自己壓棧是並不消耗什麼空間的，由於自己只是一個指針，並不須要存儲任何內容。可是存在返回值的時候，函數須要將返回值保存，所以一同申請空間。當函數棧過深的時候，存儲的子函數的返回值也會愈來愈多，你能夠試試將上述斐波那契數列的代碼參數設置爲一個很大的數字，你會發現程序很是慢，而且有可能會致使棧溢出從而強制退出。由於你從上述分析的遞歸過程你會發現，有些函數被重複運算了，例如fib(2)就被計算了屢次，而這是不須要的。所以浪費了時間和空間。

自頂向下

啥是自頂向下的方法？頂就是頂層任務，也就是咱們的預期結果，向下就是指分解成小任務。自頂向下就是講大任務拆解成若干小任務，隨後將小任務組合起來的過程。

一般來講自頂向下有時會形成嚴重的性能問題，例如咱們舉的例字，假設你只是想讓第一排的同窗把橡皮給你，信息卻傳遞了整整一個來回。假設第一排的同窗一開始就知道要把橡皮給你，那麼就能節省很多時間。

事實上對於斐波那契數列而言，咱們並不關心他的前面項的結果，而且在前文的敘述中你也發現了有重複計算的問題。例如fib(10)的值，你徹底沒有必要關心fib(5)之類的是多少，你只須要關心fib(8)+fib(9)而已，所以對於fib(5)的值你也是徹底沒有必要壓棧的。遞歸的斐波那契數列時間複雜度達到了驚人的$O(2^n)$,空間也用了$S(n)$。

假設一個任務能夠拆分紅互相不干擾，沒有直接聯繫的多個子任務，那麼自頂向下的方法則是最優的方法，例如樹的遍歷，對於一個節點而言，它的兄弟節點必然不會是他的子節點（子函數的結果），那麼你就能夠大膽的用自頂向下的遞歸。而對於斐波那契數列，你會發現他的子任務顯然會創建聯繫，那麼自頂向下的方法必然會致使重複的運算，甚至爆棧。

自底向上

爲了解決子任務相關聯致使的自頂向下的性能問題，咱們引出自底向上的方法。自底向上則是將最小的子任務往大任務組合，這樣就不會有重複計算的過程，由於子任務組合過程是單向的。

對於下面這個改良版的斐波那契數列，儘管代碼顯得並非那麼可讀和方便，可是時間複雜度卻降到了$O(n)$,而且只使用了常數個的空間。顯然咱們的複雜度降低了。

int fib(int n)
{
    int rs = 0;
    int[] temp = new int []{ 1, 1 };
    for (int i = 2; i < n; i++)
    {
        rs = temp[0] + temp[1];
        temp[0] = temp[1];
        temp[1] = rs;
    }
    return rs;
}

而且對於斐波那契數列這種存在通項公式的遞歸,使用通項公式會使得你的時間複雜度進一步降低至$O(logn)$如下。所以可見遞歸雖好，但可不要濫用。

可是自底向上並非任什麼時候候都是有效的，例如最小子任務不可知的狀況下，樹仍是一個很好的例子，對於樹的葉子結點，在父節點未知的狀況下必然沒法肯定，所以自底向上失效。

小題目

爲了加深各位對遞歸的理解，這裏選取了幾個使用遞歸解決的小題目，但願你能獨立解決難題，答案將會在文末解析。請使用遞歸解決嗷！你能夠將代碼在評論中留下，我會仔細審閱，輸入特殊用例來判斷你的正確性。

• Code1 - 反轉字符串:

//給你一個字符串，請將其反轉。
//輸入 Hello
//輸出 olleH
public static string Reverse(string str)
{
}

• Code2 - 三個一組交換單鏈表

//給你一個單鏈表，請返回三個一組反轉後單鏈表的表頭
//輸入：1->2->3->4->5
//返回：3->2->1->4->5
class LinkNode
{
    public int Value { get; set;}
    public LinkNode Next { get; set;}
}
public LinkNode Reverse(LinkNode head)
{
}

• Code3 - 斐波那契數列

//使用遞歸計算斐波那契數列
//要求時間複雜度降爲O(n)
//Tip:驗證時間複雜度能夠輸入一個50000去跑
public int Fib(int n)
{
}

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原文出處：https://www.cnblogs.com/WarrenRyan/p/12424152.html