關於GCD的幾個結論

設a和b的最大公約數是d，那麼：

1. d是用sa+tb（s和t都是整數）可以表示的最小正整數

　　證實：設x=sa+tb是sa+tb可以表示出的最小正整數。首先，有d|x，證實以下：

 

　　　　所以有x>=d，如今只要證實x是公約數，就能夠證實x就是這個最大公約數了。只需證實x|a且x|b。

　　　　先證x|a。設a=qx+r（q是天然數，0<=r<x），那麼r=a-qx=a-q(sa+tb)=(1-qs)a+(-qt)b。能夠看出r也知足Sa+Tb這種形式，假如r也是正整數的話，r<x，那麼與x是Sa+Tb這種形式的最小正整數矛盾。所以假設不成立，r不是正整數。因此r=0。因此有x|a。

　　　　證x|b同理。

　　因此命題得證。有結論：存在整數s,t使得sa+tb=d，其中d=gcd(a,b)。而且d是形如sa+tb的全部正整數裏最小的。

 

2. c是a和b的公約數，那麼c|d

　　證實：由命題1，存在整數s,t，使得sa+tb=d。因爲a=pc，b=qc（p,q都是正整數），因此d=spc+tqc=(sp+tq)c。因此c|d。

　　因此命題得證。有結論：任何公約數都整除最大公約數。

 

3. 若是c|d，那麼有c|a且c|b

　　證實：顯然有d|a且d|b。由整除的傳遞性，就有c|a且c|b。

　　由命題2和命題3得出推論：一個數整除最大公約數，跟這個數分別整除這兩個數是等價的條件。

　　這是今天在看莫比烏斯反演的時候有一步轉化沒有看懂，就在這裏推了一下。