深刻理解計算機系統：定點數的表示和運算

最近學習計算機組成原理時，結合視頻和我的理解作的一些筆記。可能文中有錯誤或者描述不恰當的地方，歡迎評論區指出。

1.定點數的表示

1.1 無符號數

• 定義：無符號數就是沒有體現正負號的數（這意味着全部的無符號數實際上都是正數），整個機器字長的所有二進制位均爲數值位，沒有符號位。以108D爲例，它對應的二進制數是 1101100，這實際上也就是它的無符號數，能夠看到全部的位都是數值位。
• 表示範圍：以八位二進制數爲準，範圍就是 00000000 到 11111111，也就是 0 到 255

1.2 有符號數

• 定義：有符號數就是有體現正負號的數，整個機器字長的所有二進制位中，最高位做爲符號位，0 表示正數，1 表示負數，其他位則是數值位。依然以108D爲例，它對應的二進制數是 1101100，而對應的有符號數則要在最前面加上符號位 0，即它的有符號數是 01101100.

• 表示範圍：以八位二進制數爲準，範圍應該是從負數到正數，即從 11111111 到 01111111，也就是 -127 到 127

1.2.1.真值和機器數

• 真值：就是帶有正負號的實際十進制數，好比上面例子中，+108D就是真值
• 機器數：機器數就是一個數在計算機中的二進制表示形式，注意機器數是由符號位和數值位構成的，好比上面例子中，01101100 就是機器數。

-156D（真值）= 110011100B(機器數)

1.2.2.原碼、反碼、補碼和移碼

(1)原碼錶示法

簡單點理解，原碼就是符號位加上真值（二進制）的絕對值，同時用逗號將符號位和數值位隔開。好比，+1 就是 0,0000001，-1 就是 1,0000001。

原碼的特色是簡單、直觀，可是原碼在進行加法運算的時候會出現問題。正數加正數或者負數加負數是正常的，可是正數加負數就會出錯。好比咱們如今想要計算 -1+3，咱們心想：-1 是 10000001，+3 是 00000011，加起來獲得的是 10000100，因此結果是 -4，但 -1+3 應該是等於 2，因此這個結果是錯的。咱們發現，原本應該作的是加法運算，但實際上變成了減法運算（-1-3=-4）。

咱們首先想到，能夠經過將「正數加負數」轉化爲「正數減正數」來手動糾正這個錯誤。上面的例子就變成 00000011 減 00000001，結果是 00000010，也就是 2，這個結果是正確的。

可是每次都這樣手動轉化，計算起來仍是太麻煩了。因而咱們接着想：有沒有一種方法，可讓「正數加負數」中的負數等價於一個正數，從而確保始終進行的是相加操做呢？

因而這時候就引出了補碼的概念。

(2)補碼錶示法

• 補數和模：理解補碼以前，咱們先來理解兩個概念：補數和模。 拿時鐘舉例，想要從10點撥到8點，有兩種作法，一種是逆時針撥2個單位，記做-2；一種是順時針撥10個單位，記做+10，這兩種操做是等效的(有點負數等價於一個正數的意思)。這時候咱們就說，-2 是 +10 以 12 爲模的補數，記做-2≡+10(mod 12)，同理，-5 至關於 +7，-4 至關於 +8。

• 那麼怎麼基於補數和模的概念將「正數加負數」轉化爲「正數加正數」 —— 即怎麼令負數等價於一個正數呢？假設咱們如今有一個寄存器能夠存放四位二進制數（此時，模爲16），咱們想要讓 1011 變成 0000，最容易想到的辦法就是 1011-1011=0000，注意這裏是正數加負數。想要變成正數加正數，就要找到等價於 -1011 的正數，-1011 就是 -11，-11 以 16 爲模的補數就是 +5，+5 就是 +0101，這個正是咱們要找的那個等價正數，所以這時候，1011-1011 變成了 1011+0101，其結果是 10000，不要忘了寄存器只能存放四位，因此結果實際上是 0000，剛好與咱們「正數加負數」時獲得的結果無異。

• 接着引入補碼的概念：

  • 對於正數：正數的補碼和原碼相同；
  • 對於負數：負數的補碼等於其原碼在保持符號位不變的狀況下，其他各位取反，末位加一（取反加一）。注意，補碼的補碼等於原碼，這能夠用來根據補碼求原碼。
  • 也能夠用下圖方法計算補碼：

    

仍是上面的例子，1011-1011，也就是11-11，咱們考慮+11和-11，+11的原碼=補碼=01011，-11的原碼是11011，所以補碼是10101，那麼01011+10101就會等於100000，由於寄存器是五位的，把前面的1去掉，那麼結果就是00000，也就是0，和上面的運算結果一致。

(3)反碼錶示法

反碼很好理解：

• 正數：反碼等於原碼等於補碼；
• 負數：反碼等於原碼保持符號位不變的狀況下其他各位取反。也就是說，補碼=反碼+1
• 反碼的反碼等於原碼，這能夠用來根據反碼求原碼。

(4)移碼錶示法

補碼存在的問題是，僅從補碼自己來看，很難比較兩個數的大小，爲此引入了移碼的概念。移碼指的是在真值（二進制）的基礎上加上一個偏移量，一般這個偏移量是2^n。其中，n是數值位的位數。例如，對於-10101，其移碼是2^7+(-10101)=10000000+(010101)=0,1101011。 固然，咱們有簡單的方法能夠計算一個數的移碼：無論正數仍是負數，其移碼都等於補碼的符號位取反。

2.定點數的加減運算

2.1 補碼的加減運算

定點數的加減運算實際上就是補碼的加減運算。咱們來看一個例子：

假設機器字長爲 8 位（含1位符號位），A=15，B=-24，如今求 A+B 和 A-B。

A 的補碼是 0,0001111，B 的補碼是 1,1101000，那麼 0,0001111+1,1101000=1,1110111，轉化爲原碼，再轉化爲真值，獲得 -9，這是正確的。同理，A-B 就是 A+(-B)，-B 的補碼是 0,0011000，那麼 0,0001111+0,0011000=0,0100111，最後轉化爲真值，獲得 +39，這也是正確的。 咱們再來看另外一個例子：

假設機器字長爲 8 位（含1位符號位），A=15，B=-24，C=124，如今求 A+C 和 B-C。

咱們一樣按照上面的流程來進行計算，最後得出：A+C 結果是 -117，B-C 結果是 +108，這兩個都是錯誤的。爲何會出現這樣的狀況呢？

2.2 溢出

這種狀況就叫溢出。出現的緣由，簡單來講就是：運算結果太大了，或者運算結果過小了。就上面的題而言，8 位二進制數所能表示的數字的範圍是有限的，當正數加正數的時候，結果可能過大，超出了最大值，此時稱爲上溢；當負數加負數的時候，結果可能太小，夠不到最小值，此時稱爲下溢。以下圖所示：

咱們拿 3 位二進制數來理解這個問題。假設 3 位二進制數能夠表示的範圍以下：

如今咱們進行 2+2 操做，那麼就是 010+010，結果就是 100，這已經超出了正數能夠表示的最大範圍，也就是發生了上溢。因此此時獲得的是 -4，這是一個錯誤的結果。

2.3 溢出的判斷

前面說過，溢出的緣由要麼是運算結果太大，要麼是運算結果過小，其實從這句話咱們能夠看出，正數和負數相加是不會發生溢出的，由於其結果必然在能夠表示的範圍內，惟一可能會發生溢出的狀況，要麼是正數加正數，要麼是負數加負數。那麼，如何判斷在這兩種狀況下是否會發生溢出呢？有三個方法：

(1) 一位符號位：比較操做數符號位與結果數符號位

咱們仍是拿上面的第二個例子解釋：

能夠看到，A+C 中，兩個操做數符號位都是 0，也就是都是正數，但結果數的符號位倒是 1 ，也就是負數，那麼很明顯它發生了上溢；

同理，B-C 中，兩個操做數符號位都是 1，也就是都是負數，但結果數的符號位倒是 0，也就是正數，那麼很明顯它發生了下溢。

(2) 一位符號位：看符號位與最高數值位的進位狀況

看第一個式子，進行運算的時候，符號位沒有產生進位，可是最高數值位向前產生了進位，這時候判斷它發生了上溢； 看第二個式子，進行運算的時候，最高數值位沒有產生進位，可是符號位向前產生了進位，這時候判斷它發生了下溢。

(3) 兩位符號位：

這種方法是將一位符號位改成兩位符號位表示：正數符號爲 00，負數符號爲 11。那麼前面的例子就會變爲：

這時候，計算機只須要看結果數就能知道是否發生溢出 —— 只要結果數的兩位符號位相異，那麼就必定是發生了溢出。 同理，咱們回過頭看第一個沒有溢出的例子：

能夠發現兩次運算的結果數的兩位符號位都是同樣的，由此判斷這兩次運算都沒有發生溢出。

參考： www.bilibili.com/video/av669…