深刻理解計算機系統（2.6）------整數的運算

　　前面兩篇博客咱們詳細講解了計算機中整數的表示，包括有符號和無符號（補碼編碼）的詳細介紹。那麼這篇博客咱們將對它們的運算有個詳細的瞭解。

　　在講解以前首先看下面的一個程序，看看輸出結果是啥？

#include <stdio.h>

int main()
{
	int i = 2147483647;
    printf("%d\n",i+1);
    printf("%d\n",i+i);
	return 0;
}

　　結果是：

　　

　　咱們預期的:

　　i+1 = 2147483647 + 1 = 2147483648

　　i+i = 2147483647 + 2147483647  = 4 294 967 294

　　爲何程序中的結果和咱們數學中的常識會有這麼大的區別？兩個正數相加獲得負數。這就須要咱們理解計算機中整數的運算原理。

 

一、計算機整數運算的侷限

　　咱們知道計算機是用二進制序列來表示數的。而二進制序列的長度是和計算機自己的字長有關。不一樣的數據類型定義的二進制序列長度不同，即不一樣的數據類型表示數的大小範圍是不同的。可是不論是什麼數據類型，它定義的二進制序列長度是有限的，即它表示的數的大小範圍是有限的。

　　因此兩個數作運算，若是結果超出了定義數據類型所表示數的大小範圍，那麼結果將會出現失真。並且這個失真的結果也不是隨機的，而是有跡可循的，那麼究竟是怎麼產生失真的，請接着往下面看。

　　PS：下面給出 64 位機器上C語言的整型數據類型的取值範圍。本篇博客中程序運行環境都是在64位系統中進行。

　　

 

二、無符號數加法運算

　　前面咱們講過，對於一個 w 位的無符號二進制整數[x_w-1 , x_w-2 , … , x₂ , x₁ , x₀]，其值大小知足 0 <= x <= 2^w-1.

　　若是兩個無符號數相加，那麼其結果應該是 0 <= x+y <=2^w+1-2。很顯然表示這個範圍的數必需要 w+1 位二進制。

　　當咱們對無符號數作加法運算的時候，若是結果超過了 2^w-1，那麼這個結果就會失真。

#include <stdio.h>

int main()
{
	unsigned short int i = 65535;
	unsigned short int j = i+1;
    printf("%u\n",j);
	return 0;
}

　　結果爲：

　　

　　對於上面的程序，咱們是在64位系統中進行運算。由上面給出的圖片咱們能夠知道 unsigned short int 在計算機中佔用 2 個字節。表示的數據範圍是 0——2¹⁶-1，即0——65535

　　咱們在程序中定義 i = 65535,那麼 i+1=65536,這個結果是超出了 unsigned short 表示的數據範圍。因此結果失真了，可是結果爲何是 0 呢？

　　上一篇博客咱們講過C語言中二進制數的截斷：

　　將一個 w 位的數 [x_w-1 , x_w-2 , … , x₂ , x₁ , x₀] 截斷爲一個 k 位數字時，咱們會丟棄高 w-k 位。獲得 [x_k-1 , x_k-2 , … , x₂ , x₁ , x₀]

　　對於上面的 i = 65535,二進制表示爲：[1111 1111 1111 1111]，加1 結果爲 65536，用二進制表示爲 [1 0000 0000 0000 0000],爲了將結果保持在 4個字節，即32位二進制序列，咱們去掉最高位的 1，那麼結果就變成了 [0000 0000 0000 0000]，也就是打印出來的結果 0.

　　通常而言，無符號加法等價於計算和模上2^w

　　好比上面的二者計算和爲 65536,模上 2^w，即模上2¹⁶=65536，結果爲0

　　ps：模表示二者相處取餘

　　如今定義 0<= x,y <2^w,那麼它們運算知足下面關係：

　　

　　注意：當 2^w <= x+y < 2^w+1，對 x + y 進行2^w的取模運算，與 x + y - 2^w是等價的。

　　因此若是兩個無符號整數做加法運算。當 x+y < 2^w 時，它們的結果不變；當 2^w <= x+y < 2^w+1，它們的結果爲 x+y-2^w

　　

三、補碼加法運算　

　　對於補碼加法運算，由於補碼編碼是表示有符號的整數。

　　對於一個 w 位的補碼二進制整數[x_w-1 , x_w-2 , … , x₂ , x₁ , x₀]，其值大小知足 -2^w-1  <= x <= 2^w-1-1。那麼 -2^w <= x+y <=2^w-1

　　想要表示上面的兩個數相加和的範圍，那麼可能須要 w+1 來表示。這裏咱們也須要截取。

　　與無符號加法運算不一樣，補碼加法會出現三種狀況：正溢出、正常、負溢出。定義以下：

　　　　範圍在  -2^w-1  <= x，y <= 2^w-1-1 作加法運算時，知足：

　　

　　簡單來講：補碼加法運算就是先按照無符號加法進行運算，然後在進行無符號和有符號的轉換。

 　　

這裏咱們看個例子：

#include <stdio.h>

int main()
{
	short int i = -32768;
 	short int j = i-1;
    printf("%d\n",j);
	return 0;
}

　　結果爲：

　　

　　爲何 -32768-1 結果會是 32767？

　　根據上面的公式：

　　

　　咱們須要先將 -32768 和 -1 分別轉換成無符號數進行加法運算，而後對獲得的結果轉換成有符號數。

　　①、-32768 轉換成無符號數也就是 -32768+2^16=32768 　

　　②、-1 轉換成無符號數也就是-1+2^16=65535　

　　③、將上面兩步的結果相加，而後轉換成有符號數：

　　　　即（65535+32768）-2^16=65535+32768-65536=32767

 　這個過程用到的公式分別有：

　　

四、無符號數乘法運算

　　對於一個 w 位的無符號二進制整數[x_w-1 , x_w-2 , … , x₂ , x₁ , x₀]，其值大小知足 0 <= x <= 2^w-1.

　　若是兩個無符號數相乘，那麼其結果應該是 0 <= x*y <=（2^w-1）2=2^2w-2^w+1+1。很顯然表示這個範圍的數可能須要 2w 位來表示。也就是 2w 位的整數乘積的低 w 位表示的值。根據咱們前面講的截斷原理：能夠看作是計算乘積模2^w,即：

　　

#include <stdio.h>

int main()
{
	unsigned short int i = 2;
 	unsigned short int j = i*2;
    printf("%u\n",j);
	return 0;
}

　　好比上面的程序結果是：（2*2）mod 2¹⁶=4 mod 65536=4

　　

五、補碼乘法 

 　　對於一個 w 位的補碼二進制整數[x_w-1 , x_w-2 , … , x₂ , x₁ , x₀]，其值大小知足 -2^w-1  <= x <= 2^w-1-1。

　　那麼它們的乘積x*y的取值範圍在 -2^w-1*（2^w-1-1）=2^2w-2+2^w-1 到 -2^w-1*2^w-1=-2^{2w-2 之間。}

　　同理 2w 位的整數乘積的低 w 位表示的值。根據咱們前面講的截斷原理：補碼乘法運算公式爲

　　　　

 

 　　

　　假設對於w位的兩個補碼數來講，它們的乘積的低w位與無符號數乘積的低w位是同樣的。這意味着計算機可使用一個指令執行無符號和補碼的乘法運算。下面咱們來證實：

　　其中x’和y’分別表明x和y的補碼編碼。

　　那麼：（應用有符號轉爲無符號公式可得）

　　

　　即：　　　　　　　　　　（2^w mod 2^w = 0）

 

 　　因爲模運算符，全部帶權重 2w 的項都丟棄了，所以咱們看到 x*y  和 x’*y’ 的低 w 位是相同的。

 

六、乘法優化

　　因爲在大多數機器上，整數乘法指令至關慢，須要 10 個或多個時鐘週期，而其餘整數運算（好比加法、減法、位級運算和移位）只須要 1 個時鐘週期。

　　所以編譯器使用了一項重要的優化，使用移位和加法的組合來代替乘法。

　　結論：對於一個w位的二進制數來講，它與2^k的乘積，等同於這個二進制數左移k位，在低位補k個0。

　　證實過程以下：

 　　

　　咱們前面說過，整數乘法代價要比移位和加法代價大得多。那麼C編譯器會以移位、加法、減法的組合來消除不少整數乘以常數的狀況。

　　好比：

　　　　計算 x*14 的乘積。 因爲 14 = 2³+2²+2¹   ，那麼編譯器會將乘法重寫爲（x<<3）+（x<<2）+（x<<1）。這樣就將乘法替換爲三個移位和兩個加法。不管 x 是無符號仍是補碼，甚至當乘法會致使溢出時，兩個計算都會獲得同樣的結果。

　　　　更好的編譯器，可能會將 14 = 2⁴-2¹。那麼就會變成（x<<4）-（x<<1），只須要兩個移位和一個減法。

 

七、除法運算

　　實際上在大多數機器上，整數除法要比整數乘法更慢，須要 30 或更多個時鐘週期。

　　結論：對於除以 2 的冪能夠用移位來運算。無符號除法使用邏輯移位，補碼除法使用算術移位。

　　①、邏輯右移在左端補k 個0。C語言中對於無符號數據必須邏輯右移。

　　對於位向量[x_w-1,x_w-2,...,x₀]邏輯右移 k 位會獲得位向量：[0,...,0,x_w-1,x_w-2,...,x_k]。轉換成除法即 x/2^k，從結果咱們能夠看出邏輯移位出現小數，老是舍入到零，好比 7/2應該是 3，而不是4

　　　　

 

　　②、算術右移是在左端補 k 個最高有效位的值。對於一個正整數，因爲最高有效位是 0 ，因此效果和邏輯右移是同樣的；對於非負數，算術右移 k 位與除以 2^k 是同樣的。

　　　　對於結果不須要舍入的狀況結果是正確的。可是對於結果須要舍入的時候，算術右移致使的結果是向下舍入，好比 -7/2應該是 -3，而不是 -4。這是錯誤的。

　　　　

 

八、總結

　　那麼本篇博客結束咱們對於整數的表示以及運算都已經瞭解了。注意整數的運算我沒有將減法，其實減法也就是轉換爲補碼相加。並且計算機中也只有加法器，是沒有減法器的。咱們只須要將減法轉換爲加法運算便可。

　　整數的表示和運算結束了，下一篇博客咱們將會講解浮點數，也就是有小數的數。