POJ-最大連續子序列和

給定一個整數序列，找到一個具備最大和的連續子序列（子序列最少包含一個元素），返回其最大和。

實例輸入: -2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4

實例輸出: 6（連續子序列4, -1, 2, 1的和最大，爲 6。）

下面介紹動態規劃的作法，複雜度爲 O(n)。
步驟 1：令狀態 dp[i] 表示以 A[i] 做爲末尾的連續序列的最大和（這裏是說 A[i] 必須做爲連續序列的末尾）。
步驟 2：作以下考慮：由於 dp[i] 要求是必須以 A[i] 結尾的連續序列，那麼只有兩種狀況：

1. 這個最大和的連續序列只有一個元素，即以 A[i] 開始，以 A[i] 結尾。
2. 這個最大和的連續序列有多個元素，即從前面某處 A[p] 開始 (p<i)，一直到 A[i] 結尾。

對第一種狀況，最大和就是 A[i] 自己。
對第二種狀況，最大和是 dp[i-1]+A[i]。
因而獲得狀態轉移方程：dp[i] = max{A[i], dp[i-1]+A[i]}
這個式子只和 i 與 i 以前的元素有關，且邊界爲 dp[0] = A[0]，由此從小到大枚舉 i，便可獲得整個 dp 數組。接着輸出 dp[0]，dp[1]，...，dp[n-1] 中的最大子即爲最大連續子序列的和。

#include<cstdio>
#include<cstring>

int max(int a, int b){return a>b?a:b;}

int main() {
    int n;
    int a[50500], dp[50500];
    scanf("%d", &n);//輸入序列長度 
    for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    dp[0] = a[0];
    for(int i=1; i<n; i++) dp[i] = max(a[i], dp[i-1] + a[i]);
    int ans = dp[0];
    for(int i=1; i<n; ++i) 
    {
        if(dp[i] > ans) ans = dp[i];
    }
    printf("%d\n", ans); 
    return 0;
}

變式：兩段最大連續子序列--POJ1481

思路：這道題目的基礎就是最大連續子序列和，可是更增強化了。核心思路是從前日後和從後往前分別獲得dp，再分別用另外一個數組存儲到某位置最大值，而後再找最大值。具體看代碼。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 50500;
int a[N],s1[N],s2[N],dp1[N],dp2[N];//s1,s2分別記錄到第i個位置的最大序列和（並不要求以i結尾) 
int ans, n;

void f()
{
    s1[0]=a[0], dp1[0]=a[0], s2[n-1]=a[n-1], dp2[n-1]=a[n-1];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        dp1[i]=max(dp1[i-1]+a[i],a[i]);
        s1[i]=max(s1[i-1],dp1[i]);
    }
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
    {
        dp2[i]=max(dp2[i+1]+a[i],a[i]);
        s2[i]=max(s2[i+1],dp2[i]);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)ans=max(ans,s1[i-1]+s2[i]);
}

int main() {
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
        ans = -99999;//由於若是都是負元素就選兩個最小的負元素 ，不會小於-20000 
        f();
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}