Power Law and Exponential Decay of Inter Contac...

MobiCom’07, September 9–14, 2007：

the observed dichotomy：

Power law：

Fig. 1 shows the respective aggregate CCDFs of inter-contact times in log-log scale. The CCDF values follow a straight line over a range of values spanning the order of a few minutes to half a day, thus suggesting a power law.

Exponential decay：

Carefully examining Fig. 1, we observe that at roughly around half a day, the CCDF has a knee beyond which the decay is abruptly faster. We call this knee the characteristic time.

附加： 天然界與社會生活中,許多科學家感興趣的事件每每都有一個典型的規模,個體的尺度在這一特徵尺度附近變化很小。如，人的身高， 中國成年男子的身高絕大多數都在平均值1.70左右，在一個特徵值附件呈現泊松分佈。 經濟學財富分佈知足Pareto Power law tail分佈，語言中有詞頻的冪律分佈，城市規模和數量知足冪律分佈，音樂中有f分之1噪音（冪律分佈）……。一般人們理解冪律分佈就是所謂的馬太效應，二八原則，即少數人彙集了大量的財富，而大多數人的財富數量都很小，由於勝者通吃的原則。 對「長尾」分佈研究作出重要貢獻的是Zipf和Pareto。

1932年，語言學家Zipf在研究英文單詞出現的頻率時，發現若是把單詞出現的頻率按由大到小的順序排列，則每一個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關係：P(r)～r^(-α)，這種分佈就稱爲Zipf定律，它代表在英語單詞中，只有極少數的詞被常常使用，而絕大多數詞不多被使用。實際上，包括漢語在內的許多國家的語言都有這種特色。物理世界在至關程度上是具備惰性的，動態過程總能找到能量消耗最少的途徑，人類的語言通過千萬年的演化，最終也具備了這種特性，詞頻的差別有助於使用較少的詞彙表達儘量多的語義，符合「最小努力原則」。

 19世紀的意大利經濟學家帕累託（Pareto）研究了我的收入的統計分佈，發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入，提出了著名的80/20法則，即20%的人口占據了80%的社會財富。我的收入X不小於某個特定值x的機率與x的常數次冪亦存在簡單的反比關係：P[X≥k]～x^(-k)，上式即爲Pareto定律。對Pareto分佈P[X >= x] ~ x-k，經過求導很容易獲得其機率分佈密度：p[X = x] ~ x-(k+1) = x-a，a = 1+k。對於Pareto定律，在成熟市場中，金融資產收益率的冪律分佈其冪指數約等於3。（通常地，形如y=x^a(a爲常數）的函數）

冪律分佈是自組織臨界系統在混沌邊緣，即從穩態過渡到混沌態的一個標誌，利用它能夠預測這類系統的相位及相變。它認爲，由大量相互做用的成分組成的系統會天然地向自組織臨界態發展；當系統達到這種狀態時，即便是很小的干擾事件也可能引發系統發生一系列災變。

設想在一平臺上緩緩地添加沙粒，一個沙堆逐漸造成。開始時，因爲沙堆平矮，新添加的沙粒落下後不會滑得很遠。可是，隨着沙堆高度的增長，其坡度也不斷增長，沙崩的規模也相應增大，但這些沙崩仍然是局部性的。到必定時候，沙堆的坡度會達到一個臨界值，這時，新添加一粒沙子（表明來自外界的微小干擾）就可能引發小到一粒或數粒沙子，大到涉及整個沙堆表面全部沙粒的沙崩。這時的沙堆系統處於「自組織臨界態」,有趣的是，臨界態時沙崩的大小與其出現的頻率呈冪律關係。這裏所謂的「自組織」是指該狀態的造成主要是由系統內部各組成部分間的相互做用產生，而不是由任何外界因素控制或主導所致，這是一個減熵有序化的過程；「臨界態」是指系統處於一種特殊的敏感狀態，微小的局部變化能夠不斷被放大、進而擴延至整個系統。自組織臨界理論能夠解釋諸如火山爆發、山體滑坡、岩層造成、日輝耀斑、物種滅絕、交通阻塞、以及金融市場中泡沫崩潰的現象。

冪律分佈例子：http://blog.sina.com.cn/s/blog_55954cfb0100pvcw.html