2020全國大學生數學建模競賽賽題

A題 爐溫曲線

在集成電路板等電子產品生產中，須要將安裝有各類電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，經過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上。在這個生產過程當中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產品質量相當重要。目前，這方面的許多工做是經過實驗測試來進行控制和調整的。本題旨在經過機理模型來進行分析研究。
回焊爐內部設置若干個小溫區，它們從功能上可分紅4個大溫區：預熱區、恆溫區、迴流區、冷卻區（如圖1所示）。電路板兩側搭在傳送帶上勻速進入爐內進行加熱焊接。

圖1 回焊爐截面示意圖

某回焊爐內有11個小溫區及爐前區域和爐後區域（如圖1），每一個小溫區長度爲30.5 cm，相鄰小溫區之間有5 cm的間隙，爐前區域和爐後區域長度均爲25 cm。
回焊爐啓動後，爐內空氣溫度會在短期內達到穩定，此後，回焊爐方可進行焊接工做。爐前區域、爐後區域以及小溫區之間的間隙不作特殊的溫度控制，其溫度與相鄰溫區的溫度有關，各溫區邊界附近的溫度也可能受到相鄰溫區溫度的影響。另外，生產車間的溫度保持在25ºC。
在設定各溫區的溫度和傳送帶的過爐速度後，能夠經過溫度傳感器測試某些位置上焊接區域中心的溫度，稱之爲爐溫曲線（即焊接區域中心溫度曲線）。附件是某次實驗中爐溫曲線的數據，各溫區設定的溫度分別爲175ºC（小溫區1_{5）、195ºC（小溫區6）、235ºC（小溫區7）、255ºC（小溫區8}9）及25ºC（小溫區10~11）；傳送帶的過爐速度爲70 cm/min；焊接區域的厚度爲0.15 mm。溫度傳感器在焊接區域中心的溫度達到30ºC時開始工做，電路板進入回焊爐開始計時。
實際生產時能夠經過調節各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度來控制產品質量。在上述實驗設定溫度的基礎上，各小溫區設定溫度能夠進行±10ºC範圍內的調整。調整時要求小溫區1_{5中的溫度保持一致，小溫區8}9中的溫度保持一致，小溫區10_{11中的溫度保持25ºC。傳送帶的過爐速度調節範圍爲65}100 cm/min。
在回焊爐電路板焊接生產中，爐溫曲線應知足必定的要求，稱爲製程界限（見表1）。

表1 製程界限

請大家團隊回答下列問題：
問題1 請對焊接區域的溫度變化規律創建數學模型。假設傳送帶過爐速度爲78 cm/min，各溫區溫度的設定值分別爲173ºC（小溫區1_{5）、198ºC（小溫區6）、230ºC（小溫區7）和257ºC（小溫區8}9），請給出焊接區域中心的溫度變化狀況，列出小溫區三、六、7中點及小溫區8結束處焊接區域中心的溫度，畫出相應的爐溫曲線，並將每隔0.5 s焊接區域中心的溫度存放在提供的result.csv中。
問題2 假設各溫區溫度的設定值分別爲182ºC（小溫區1_{5）、203ºC（小溫區6）、237ºC（小溫區7）、254ºC（小溫區8}9），請肯定容許的最大傳送帶過爐速度。
問題3 在焊接過程當中，焊接區域中心的溫度超過217ºC的時間不宜過長，峯值溫度也不宜太高。理想的爐溫曲線應使超過217ºC到峯值溫度所覆蓋的面積（圖2中陰影部分）最小。請肯定在此要求下的最優爐溫曲線，以及各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度，並給出相應的面積。

圖2 爐溫曲線示意圖

問題4 在焊接過程當中，除知足製程界限外，還但願以峯值溫度爲中心線的兩側超過217ºC的爐溫曲線應儘可能對稱（參見圖2）。請結合問題3，進一步給出最優爐溫曲線，以及各溫區設定的溫度及傳送帶過爐速度，並給出相應的指標值。

B題 穿越沙漠

考慮以下的小遊戲：玩家憑藉一張地圖，利用初始資金購買必定數量的水和食物（包括食品和其餘平常用品），從起點出發，在沙漠中行走。途中會遇到不一樣的天氣，也可在礦山、村莊補充資金或資源，目標是在規定時間內到達終點，並保留儘量多的資金。
遊戲的基本規則以下：
（1）以天爲基本時間單位，遊戲的開始時間爲第0天，玩家位於起點。玩家必須在截止日期或以前到達終點，到達終點後該玩家的遊戲結束。
（2）穿越沙漠需水和食物兩種資源，它們的最小計量單位均爲箱。天天玩家擁有的水和食物質量之和不能超過負重上限。若未到達終點而水或食物已耗盡，視爲遊戲失敗。
（3）天天的天氣爲「晴朗」、「高溫」、「沙暴」三種情況之一，沙漠中全部區域的天氣相同。
（4）天天玩家可從地圖中的某個區域到達與之相鄰的另外一個區域，也可在原地停留。沙暴日必須在原地停留。
（5）玩家在原地停留一天消耗的資源數量稱爲基礎消耗量，行走一天消耗的資源數量爲基礎消耗量的 倍。
（6）玩家第0天可在起點處用初始資金以基準價格購買水和食物。玩家可在起點停留或回到起點，但不能屢次在起點購買資源。玩家到達終點後可退回剩餘的水和食物，每箱退回價格爲基準價格的一半。
（7）玩家在礦山停留時，可經過挖礦得到資金，挖礦一天得到的資金量稱爲基礎收益。若是挖礦，消耗的資源數量爲基礎消耗量的 倍；若是不挖礦，消耗的資源數量爲基礎消耗量。到達礦山當天不能挖礦。沙暴日也可挖礦。
（8）玩家通過或在村莊停留時可用剩餘的初始資金或挖礦得到的資金隨時購買水和食物，每箱價格爲基準價格的2倍。
請根據遊戲的不一樣設定，創建數學模型，解決如下問題。

1. 假設只有一名玩家，在整個遊戲時段內天天天氣情況事先所有已知，試給出通常狀況下玩家的最優策略。求解附件中的「第一關」和「第二關」，並將相應結果分別填入Result.xlsx。
2. 假設只有一名玩家，玩家僅知道當天的天氣情況，可據此決定當天的行動方案，試給出通常狀況下玩家的最佳策略，並對附件中的「第三關」和「第四關」進行具體討論。
3. 現有 名玩家，他們有相同的初始資金，且同時從起點出發。若某天其中的任意 名玩家均從區域A行走到區域B( )，則他們中的任一位消耗的資源數量均爲基礎消耗量的 倍；若某天其中的任意 名玩家在同一礦山挖礦，則他們中的任一位消耗的資源數量均爲基礎消耗量的 倍，且每名玩家一天可經過挖礦得到的資金是基礎收益的 ；若某天其中的任意 名玩家在同一村莊購買資源，每箱價格均爲基準價格的 倍。其餘狀況下消耗資源數量與資源價格與單人遊戲相同。
   （1）假設在整個遊戲時段內天天天氣情況事先所有已知，每名玩家的行動方案需在第 天肯定且此後不能更改。試給出通常狀況下玩家應採起的策略，並對附件中的「第五關」進行具體討論。
   （2）假設全部玩家僅知道當天的天氣情況，從第 天起，每名玩家在當天行動結束後均知道其他玩家當天的行動方案和剩餘的資源數量，隨後肯定各自次日的行動方案。試給出通常狀況下玩家應採起的策略，並對附件中的「第六關」進行具體討論。
   
   

注1：附件所給地圖中，有公共邊界的兩個區域稱爲相鄰，僅有公共頂點而沒有公共邊界的兩個區域不視做相鄰。
注2：Result.xlsx中剩餘資金數（剩餘水量、剩餘食物量）指當日所需資源所有消耗完畢後的資金數（水量、食物量）。若當日還有購買行爲，則指完成購買後的資金數（水量、食物量）。

C題 中小微企業的信貸決策

在實際中，因爲中小微企業規模相對較小，也缺乏抵押資產，所以銀行一般是依據信貸政策、企業的交易票據信息和上下游企業的影響力，向實力強、供求關係穩定的企業提供貸款，並能夠對信譽高、信貸風險小的企業給予利率優惠。銀行首先根據中小微企業的實力、信譽對其信貸風險作出評估，而後依據信貸風險等因素來肯定是否放貸及貸款額度、利率和期限等信貸策略。
某銀行對肯定要放貸企業的貸款額度爲10_{100萬元；年利率爲4%}15%；貸款期限爲1年。附件1~3分別給出了123家有信貸記錄企業的相關數據、302家無信貸記錄企業的相關數據和貸款利率與客戶流失率關係的2019年統計數據。該銀行請大家團隊根據實際和附件中的數據信息，經過創建數學模型研究對中小微企業的信貸策略，主要解決下列問題：
(1) 對附件1中123家企業的信貸風險進行量化分析，給出該銀行在年度信貸總額固定時對這些企業的信貸策略。
(2) 在問題1的基礎上，對附件2中302家企業的信貸風險進行量化分析，並給出該銀行在年度信貸總額爲1億元時對這些企業的信貸策略。
(3) 企業的生產經營和經濟效益可能會受到一些突發因素影響，並且突發因素每每對不一樣行業、不一樣類別的企業會有不一樣的影響。綜合考慮附件2中各企業的信貸風險和可能的突發因素（例如：新冠病毒疫情）對各企業的影響，給出該銀行在年度信貸總額爲1億元時的信貸調整策略。

附件1 123家有信貸記錄企業的相關數據
附件2 302家無信貸記錄企業的相關數據
附件3 銀行貸款年利率與客戶流失率關係的2019年統計數據

附件中數聽說明：
(1) 進項發票：企業進貨（購買產品）時銷售方爲其開具的發票。
(2) 銷項發票：企業銷售產品時爲購貨方開具的發票。
(3) 有效發票：爲正常的交易活動開具的發票。
(4) 做廢發票：在爲交易活動開具發票後，因故取消了該項交易，使發票做廢。
(5) 負數發票：在爲交易活動開具發票後，企業已入帳記稅，以後購方因故發生退貨並退款，此時，需開具的負數發票。
(6) 信譽評級：銀行內部根據企業的實際狀況人工評定的，銀行對信譽評級爲D的企業原則上不予放貸。
(7) 客戶流失率：由於貸款利率等因素銀行失去潛在客戶的比率。

D題 接觸式輪廓儀的自動標註

輪廓儀是一種兩座標測量儀器（見圖1），它由工做平臺、夾具、被測工件、探針、傳感器和伺服驅動等部件組成（見圖2）。
圖1 某種型號的接觸式輪廓儀 圖2 接觸式輪廓儀的示意圖
接觸式輪廓儀的工做原理是，探針接觸到被測工件表面並勻速滑行，傳感器感覺到被測表面的幾何變化，在X和Z方向分別採樣，並轉換成電信號。該電信號經放大等處理，轉換成數字信號儲存在數據文件中（見圖3）。
（a）接觸式輪廓儀測量示意圖 (b) 數據文件中的數字信號
圖3 接觸式輪廓儀的工做原理
在理想情況下，輪廓曲線應該是光滑的，但因爲接觸式輪廓儀存在探針沾污、探針缺陷、掃描位置不許等問題，檢測到的輪廓曲線呈現出粗糙不平的狀況（見圖3(b)中的局部放大圖），這給工件形狀的準確標註帶來影響。
爲了簡化問題，假設被測工件的輪廓線是由直線和圓弧構成的平面曲線（見圖4）。請創建數學模型，並根據附件1（工件1的水平和傾斜測量數據）、附件2～附件4（工件2的屢次測量數據）所提供的輪廓儀測量數據，研究下列問題：
問題1．附件1中的表level是工件1在水平狀態下的測量數據，其輪廓線如圖4所示，請標註出輪廓線的各項參數值：槽口寬度（如x_1,x_3等）、圓弧半徑（如R_1,R_2等）、圓心之間的距離（如c_1,c_2等）、圓弧的長度、水平線段的長度（如x_2,x_4等）、斜線線段的長度、斜線與水平線之間的夾角（如∠1,∠2等）和人字形線的高度（z_1）。

圖4 工件1在水平狀態下測量的輪廓線
問題2．同一工件在不一樣次測量時，因爲工件放置的角度和位置不一樣，輪廓線參數的計算值也會存在差別。附件1中的表down給出了工件1在傾斜一個角度和有一些水平位移狀態下輪廓線的測量數據。請計算該工件測量時的傾斜角度，並做水平校訂。在數據校訂後，完成問題1的任務，並比較兩種測量狀態下工件1各項參數計算值之間的差別。
問題3．在對工件做屢次檢測時，工件每次放置的角度、測量的起點和終點都會有誤差，這致使了每次測量實際是對整個工件中的某一部分進行檢測。附件2提供了對工件2的10次測量數據，請基於這些數據完成：(1) 每次測量時工件2的傾斜角度；(2) 標註出工件2輪廓線的各項參數值（同問題1）；(3) 畫出工件2的完整輪廓線。
問題4．爲了更準確地標註出工件2的各項參數值，附件3和附件4分別提供了工件2關於圓和角的9次局部測量數據，請利用這些數據修正問題3的結論，並對該工件的完整輪廓線做進一步修正。

E題 校園供水系統智能管理

校園供水系統是校園公用設施的重要組成部分，學校爲了保障校園供水系統的正常運行須要投入大量的人力、物力和財力。隨着科學技術的發展，校園內已經廣泛使用了智能水錶，從而能夠得到大量的實時供水系統運行數據。後勤部門但願基於這些數據，經過數學建模和數據挖掘及時發現和解決供水系統中存在的問題，提升校園服務和管理水平。
附件是某校區水錶層級關係以及全部水錶四個季度的讀數(以必定時間爲間隔，如15分鐘)與相應的用水數據。請利用這些信息和數據，創建數學模型，討論如下問題：

1. 統計、分析各個水錶數據的變化規律，並給出校園內不一樣功能區（宿舍、教學樓、辦公樓、食堂等）的用水特徵。
2. 結合校區水錶層級關係，創建水錶數據之間的關係模型，並利用已有數據分析模型偏差。
3. 輸水管網的漏損是一個嚴重問題。資料顯示，在維護良好的公共供水網絡中，平均失水在5%左右；而在比較老舊的管網中，失水則會更多。請利用附件提供的數據，創建數學模型，分析該校園供水管網的漏損狀況。
4. 地下水管暗漏不容易被發現，須要花費大量人力對供水管道的漏損進行檢測及定位，若是可以從水錶的實時數據及時發現並肯定發生漏損的位置，將極爲有益。請幫助學校解決這個問題。
5. 管網維修須要必定的人工費和材料費，但同時能夠下降管網漏損程度。請根據以上結果和你瞭解的水價及維修成本肯定管網漏損的最優維修決策方案。

請注意各時間節點：
截止日期到9月13號22點，此後的任何修改均無效。