RSA 數學原理

提起RSA你們必定不陌生，在開發中常常使用，也常常聽同事說道。

前奏

對稱加密

話說好久之前，人們就懂的了加密這個技術。在戰爭時期，間諜就會拿着 密文 和 密匙 來對信息就行傳遞。 這種簡單的 密文 + 密匙（key） 就是 對稱加密

加密: 明文 + 密匙

解密: 密文 + 密匙

非對稱加密

因爲這種加密方式過於簡單，因此後來引入了數學算法。 RSA 就是由特殊的數學算法構成的，也是非對稱加密算法。非對稱加密須要兩個密鑰：公鑰（public key） + 私鑰（private key）

用公鑰加密，私鑰解密

私鑰加密，公鑰解密

相關數學原理

歐拉定理

若是兩個正整數m和n互質，那麼m的φ(n)次方減去1，能夠被n整除。

一下是幾種狀況

• 定理0 算術函數f若是知足對於任意兩個互質的正整數m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就稱f爲積性函數（或乘性函數）。 若是對於任意兩個正整數m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就稱爲徹底積性函數。

• 定理1 對於素數p，ϕ(p)=p−1。

• 定理2 ϕ(pn)=pn−pn−1，由於素數冪pn不互質的只有p的倍數，一共有pn/p=pn−1個。

• 定理3 若m、n互質，ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)，因此歐拉函數是積性函數。 由於mn互質NN，和m互質的數乘上和n互質的數就會和mn互質。

• 定理4 設n=p1a1p2a2...pkak爲正整數n的素數冪分解，那麼ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)。 由定理2，ϕ(pn)=pn−pn−1=pn (1-1/p)，又由定理3，ϕ(n)=p1a1p2a2...pkak(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)

例如： 
ϕ(8) = ϕ(2^3) = 2^3 - 2^(2-1) = 8 - 4 = 4
ϕ(15) = ϕ(3) * ϕ(5) = 2 * 4 = 8
複製代碼

費馬小定律

歐拉定理的特殊狀況：若是兩個正整數m和n互質，並且n爲質數！那麼φ(n)結果就是n-1。

模反元素

若是兩個正整數e和x互質，那麼必定能夠找到整數d，使得 ed-1 被x整除。 那麼d就是e對於x的「模反元素」

迪菲赫爾曼密匙交換原理

那麼，經過一系列的數學轉換，最終得出了RSA算法

公鑰：e 和 n
私鑰：d 和 n
明文：m
密文：c
複製代碼

說明：

• n會很是大，長度通常爲1024個二進制位。（目前人類已經分解的最大整數，232個十進制位，768個二進制位）
• 因爲須要求出φ(n)，因此根據歐函數特色，最簡單的方式n 由兩個質數相乘獲得: 質數：p一、p2 Φ(n) = (p1 -1) * (p2 - 1)
• 最終由φ(n)獲得e 和 d 。

總共生成6個數字：p一、p二、n、φ(n)、e、d

關於RSA的安全：

除了公鑰用到了n和e 其他的4個數字是不公開的。 目前破解RSA獲得d的方式以下：

• 要想求出私鑰 d 。因爲e*d = φ(n)*k + 1。要知道e和φ(n);
• e是知道的，可是要獲得 φ(n)，必須知道p1 和 p2。
• 因爲 n=p1*p2。只有將n因數分解才能算出。

那麼RSA有優勢和弊端是什麼了？

優勢

• 相對安全

缺點

• 速度慢，耗時（由於，起內部原理是一系列的數學計算）
• 加密數據量小