線性篩歐拉函數

線性篩歐拉函數

歐拉函數

在數論，對正整數n，歐拉函數是小於n的正整數中與n互質的數的數目，用$\varphi(n)$表示。

通式： $ \varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-\frac{1}{p_i})} $

其中$p_1, p_2……p_n$爲$x$的全部質因數，$x$是不爲0的整數。

性質：

1. $ \varphi(1)=1 $
2. 當正整數p爲質數時 $ \varphi(n)=n-1 $
3. 歐拉函數是積性函數，當a與b互質時，知足 $ \varphi(a \times b)=\varphi(a) \times \varphi(b) $
4. 當p爲質數時 $ \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1} $ 由於除了p的倍數外，其餘數都跟n互質。
5. 當n爲奇數時，$ \varphi(2n)=\varphi(n) $，證實與上述相似。
6. 當$n>2$時，$ \varphi(n) $都是偶數

兩種代碼(都能順便篩素數)

1. 第一種寫法 相似於埃氏篩法 $O(n\sqrt{n})?$，不推薦

int euler[maxn];
void euler_init(){ 
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
      euler[i]=i;           //初始化 
    for(int i=2;i<maxn;i++)
       if(euler[i]==i)      //判斷是否爲質數 若euler[i]!=i說明已經進行過運算了 
          for(int j=i;j<maxn;j+=i)
            euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先進行除法是爲了防止中間數據的溢出

1. 第二種寫法 歐拉篩改版$O(n)$

int prime[1000010],phi[1000010],cnt=0;
bool vis[10000010];
void Euler(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;//①
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];//②
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//③
        }
    }
}

• ①，參見性質2

• ②，參見通式
  若i%prime[j]==0,則
  $$ \begin{split}\varphi(i \times prime[j]) =i \times prime[j] \times \prod\limits_{i=1}^{n}{(1-\frac{1}{p_i})} =prime[j] \times \varphi(i)\end{split} $$

• ③，參見性質2和性質3
  若i%prime[j]!=0,則
  $$ \varphi(i\times prime[j])=\varphi(i)\times \varphi(prime[j])=\varphi(i)\times (prime[j]-1) $$

歐拉定理

若n,a爲正整數，且n,a互質，則$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n $

當n爲質數時，即爲費馬小定理$ a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$

應用

求解乘法逆元，若a,n互質，則
$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\\ \Rightarrow a^{\varphi(n)-1} \times a \equiv a^{-1} \times a \pmod n\\ \Rightarrow a^{\varphi(n)-1} \equiv a^{-1} \pmod n$
因此，a的在模n意義下的乘法逆元等於$ a^{\varphi(n)-1} $