【BZOJ4805】歐拉函數求和（杜教篩）

#【BZOJ4805】歐拉函數求和（杜教篩） ##題面 BZOJ ##題解 很久沒寫過了 正好看見了順手切一下 令$$S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$$ 設存在的某個積性函數$g(x)$ $$(g*\varphi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})$$ $$\sum_{i=1}^n(g*\varphi(i))(i)$$ $$=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})$$ $$=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}\varphi(\frac{i}{d})$$ $$=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/i}\varphi(i)$$ $$=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})$$

拿出杜教篩的套路柿子 $$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\varphi)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})$$

咱們知道$(\varphi*1)=x$ $$S(n)=\sum_{i=1}^ni-\sum_{i=2}^nS(\frac{n}{i})$$ $$S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^nS(\frac{n}{i})$$

預處理$10^7$而後杜教篩美滋滋

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#include<cmath>
#include<algorithm>
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#include<map>
#include<vector>
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using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 10000000
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int pri[MAX+10],tot;
bool zs[MAX+10];
ll phi[MAX+10];
void pre()
{
	zs[1]=true;phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAX;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=MAX;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
			else{phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAX;++i)phi[i]+=phi[i-1];
}
map<ll,ll> M;
ll Solve(ll x)
{
	if(x<=MAX)return phi[x];
	if(M[x])return M[x];
	ll ret=0;
	for(ll i=2,j;i<=x;i=j+1)
	{
		j=x/(x/i);
		ret+=(j-i+1)*Solve(x/i);
	}
	return M[x]=x*(x+1)/2-ret;
}
int main()
{
	pre();
	int n=read();
	printf("%lld\n",Solve(n));
	return 0;
}