0-1揹包問題

時間 2020-02-18

標籤揹包問題简体版

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問題描述：

有 n 件物品和一個最大承重爲 W 的揹包，每件物品的重量是 𝑤i、價值是 𝑣ijava

在保證總重量不超過 W 的前提下，選擇某些物品裝入揹包，揹包的最大總價值是多少？數組

注意：每一個物品只有 1 件，也就是每一個物品只能選擇 0 件或者 1 件優化

問題分析：

這是一個典型的動態規劃問題：code

1.設置一個values的物品價值數組和一個相對應的物品重量數組weigths.blog

2.物品的編號爲i，因爲後續使用數組下標的緣由，i從1開始，因此：價值是values[i-1],重量爲weights[i-1]。ci

3.狀態方程：it

dp[i][j] = 表示有前i個物品能夠選擇，且揹包容量爲j的狀況下能夠獲取的最大價值

4.當 j < weights[ i -1 ]時：io

dp[i][j] = dp[i-1][j];

5.當 j > = weights[i-1] 時：class

dp [i][j] = Math.max (dp[i – 1, j], dp[i – 1, j – weights[i – 1]] + values[i – 1] )
values[i – 1] //表示當前物品的價值  
dp[i – 1, j – weights[i – 1]] // 表示取了當前物品後剩餘空間的最大價值
//綜合：當j > = weights[i-1] 時，當前的物品能夠選擇取或者不取
    (1)不取的話，很明顯，最大價值就是上一步的最大價值dp[i][j] = dp[i-1][j]
    (2)取的話，價值就爲dp[i – 1, j – weights[i – 1]] + values[i – 1]
//因爲不知道取仍是不取時得到的價值最高，因此對兩個數取最大值。

代碼實現：

class Solution{
    public void knapsackProblem(){
        int[] weight = {2,2,6,5,4};
        int[] values = {6,3,5,4,6};
        int capacity = 10;
        int n = values.length;
        //由於要空出第一行和第一列 因此dp數組要加一
        int[][] dp = new int[values.length+1][capacity+1];

        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 1; j < dp[0].length; j++) {
                if (j < weight[i-1]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],values[i-1]+dp[i-1][j-weight[i-1]]);
                }
            }
        }
      //輸出二維數組
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 0; j < dp[0].length; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + "  ");
            }
            System.out.println();
        }
      //最終結果
        System.out.println(dp[values.length][capacity]);
    }
}

方案優化

好比當咱們求dp[4][7]的時候，只有兩種選擇，要麼去4號物品，要麼不取。若是不取的話，那這一決策的最大價值就是上一步決策獲得的最大價值dp[3][7],若是取的話，就是當前物品的價值加上剩餘空間的最大價值dp[ 3 ][ 2 ] = 6, 6+4 = 10.和圖中結果同樣。遍歷

由上一個方案的執行過程咱們能夠發現這樣的規律：

當咱們求dp[i][j]時，只會用到其當前物品的價值和上一步決策的最大值（2號區域）以及前面的某一個數值（3號區域），那麼咱們就能夠把它簡化成一維數組，從後往前求取，這樣可使得代碼更加簡單。

優化代碼實現：

package DynamicProgramming;

public class KnapsackBest {
    public static void main(String[] args){
        int[] w = {1,3,5,4,3};
        int[] v = {5,7,10,8,6};
        int c = 10;
        System.out.println(maxValue(w,v,c));

    }

    public static int maxValue(int[] w,int[] v,int c){
        //判斷數組是否符合要求
        if (w.length == 0 || w == null) return 0;
        if (v.length == 0 || v == null) return 0;
        if (w.length != v.length || c <= 0) return 0;
      //用於存儲決策價值的數組
        int[] dp = new int[c+1];
        for (int i = 1; i < v.length+1 ; i++) {
            //從後往前遍歷，當j < w[i-1]的狀況下，直接使用上一步的數組結果
            for (int j = c; j >= w[i-1] ; j--) {
                //從後往前，覆蓋上一物品時產生的結果
                dp[j] = Math.max(dp[j],v[i-1] + dp[j-w[i-1]]);
            }
        }

        return dp[c];
    }
}