數論——擴展歐幾里得算法與線性同餘方程

1、擴展歐幾里得算法

裴蜀（Bézout）定理

對任何整數a、b和它們的最大公約數d=gcd(a,b)，必定存在整數x,y，使ax+by=d成立。 

　　下面證實裴蜀定理：

證實：

　　在歐幾里得算法的最後一步，即b=0時，顯然有一對整數x = 1，y = 0，使得a*1+0*0=gcd(a,0)。

　　當b>0時，

　　∵ by + (a mod b) x = d，即 by + (a - a/b * b) x = d（注：a/b下取整）。

　　∴ 整理得 ax + b(y - a/b * x)=d。

　　令x' = x，y' = y，因而 ax' + by' = d。因此x'和y'就是知足條件的一組解。

　　由歐幾里得算法遞歸過程及數學概括法，可知裴蜀定理成立。

　　證畢！

　　由上述證實過程可得整數x和y的計算方法，這種計算方法被稱爲擴展歐幾里得算法。

代碼實現

　　模板題連接：擴展歐幾里得算法

　　代碼以下：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(!b) { x=1;y=0; return a; } int d=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return d; }

ax+by=d的通解

x = x₀ + k*(b/d)

y = y₀ - k*(b/d)

其中k能夠是任意一個整數，x_0,y₀是ax+by=d的一組特殊解。

　　下面證實上式的正確性：

　　ax + by = a(x0 + k(b/d)) + b(y0 - k(a/d)) = ax0 +by0 + k(ab/d) - k(ab/d) =d。

　　下面證實ax+by=d的通解均是上述形式：

證實：

　　ax₀ + by₀ = d

　　ax' + by' =d

　　做差可得：a(x₀ - x') + b(y₀ - y') = 0

　　等式兩邊同除以d得，a/d(x₀ - x') + b/d(y₀ - y') = 0

　　移項得，a/d(x₀ - x') = - b/d(y₀ - y')

　　由於d是a和b的最大公約數，因此(a/d)與(b/d)互質。

　　又由於 (b/d) | a/b(x₀ - x')，因此 (b/d) | (x₀ - x')。

　　因此x0 - x' = k * (b/d)，即x' = x₀ - k * (b/d)。

　　因爲k能夠是任意的整數，因此上式等價於x' = x₀ + k * (b/d)。

　　證畢！

2、線性同餘方程

解法原理

給定整數a,b,m，求一個整數x知足a∗x≡b(mod m)，或者給出無解。

　　a * x ≡ b（mod m），等價於 ax + my = b（b必定是gcd(a,m)的倍數）。

　　下面給出證實：

證實：

　　設ax mod m = b mod m = r

　　mk₁ + r =ax

　　mk₂ + r =b

　　其中k₁,k₂都是整數，

　　做差得：m(k₁ - k₂) = ax - b

　　因此 ax = mk +b

　　證畢！

　　根據擴展歐幾里得算法，能夠獲得 ax' + my' = d（d = gcd(a,m））的一組解x'和y'。

　　那麼在其等式兩邊同乘上(b/d)便可得：a((b/d)x') + m((b/d)y') = d * (b/d) = b。

　　因而咱們便獲得了線性同餘方程的一組解即爲x = (b/d)x'和y = (b/d)y'。

　　由於只要求x，因此只需返回x便可。

代碼實現

　　模板題連接：線性同餘方程

　　根據上述原理，咱們只須要用歐幾里得算法得出一組解以後，再將x乘上(b/d)便可。

　　代碼以下：

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstdio>
using namespace std; int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(!b) { x=1;y=0; return a; } int d=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return d; } int main() { int n;scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { int a,b,m;scanf("%d%d%d",&a,&b,&m); int x,y; int d=exgcd(a,m,x,y); if(b%d) { puts("impossible"); continue; } x=(long long)x * (b/d) % m; printf("%d\n",x); } return 0; }