數據結構和算法系列17 圖

這一篇咱們要總結的是圖(Graph)，圖可能比咱們以前學習的線性結構和樹形結構都要複雜，不過沒有關係，咱們一點一點地來總結，那麼關於圖我想從如下幾點進行總結：

1，圖的定義？

2，圖相關的概念和術語？

3，圖的建立和遍歷？

4，最小生成樹和最短路徑？

5，算法實現？

一，圖的定義

什麼是圖呢？

圖是一種複雜的非線性結構。

在線性結構中，數據元素之間知足惟一的線性關係，每一個數據元素(除第一個和最後一個外)只有一個直接前趨和一個直接後繼；

在樹形結構中，數據元素之間有着明顯的層次關係，而且每一個數據元素只與上一層中的一個元素(雙親節點)及下一層的多個元素(孩子節點)相關；

而在圖形結構中，節點之間的關係是任意的，圖中任意兩個數據元素之間都有可能相關。

圖G由兩個集合V(頂點Vertex)和E(邊Edge)組成，定義爲G=(V，E)

二，圖相關的概念和術語

1，無向圖和有向圖

對於一個圖，若每條邊都是沒有方向的，則稱該圖爲無向圖。圖示以下：

所以，(V_i，V_j)和(V_j，V_i)表示的是同一條邊。注意，無向圖是用小括號，而下面介紹的有向圖是用尖括號。

無向圖的頂點集和邊集分別表示爲：

V(G)={V₁，V₂，V₃，V₄，V₅}

E(G)={(V₁，V₂)，(V₁，V₄)，(V₂，V₃)，(V₂，V₅)，(V₃，V₄)，(V₃，V₅)，(V₄，V₅)}

 

對於一個圖G，若每條邊都是有方向的，則稱該圖爲有向圖。圖示以下。

所以，<V_i，V_j>和<V_j，V_i>是兩條不一樣的有向邊。注意，有向邊又稱爲弧。

有向圖的頂點集和邊集分別表示爲：

V(G)={V₁，V₂，V₃}

E(G)={<V₁，V₂>，<V₂，V₃>，<V_3，V₁>，<V₁，V₃>}

2，無向徹底圖和有向徹底圖

咱們將具備n(n-1)/2條邊的無向圖稱爲無向徹底圖。同理，將具備n(n-1)條邊的有向圖稱爲有向徹底圖。

3，頂點的度

對於無向圖，頂點的度表示以該頂點做爲一個端點的邊的數目。好比，圖(a)無向圖中頂點V₃的度D(V₃)=3

對於有向圖，頂點的度分爲入度和出度。入度表示以該頂點爲終點的入邊數目，出度是以該頂點爲起點的出邊數目，該頂點的度等於其入度和出度之和。好比，頂點V₁的入度ID(V₁)=1，出度OD(V₁)=2，因此D(V₁)=ID(V₁)+OD(V₁)=1+2=3

記住，不論是無向圖仍是有向圖，頂點數n，邊數e和頂點的度數有以下關係：

所以，就拿有向圖(b)來舉例，由公式能夠獲得圖G的邊數e=(D(V₁)+D(V₂)+D(V₃))/2=(3+2+3)/2=4

4，子圖

故名思義，這個就不解釋了。

5，路徑，路徑長度和迴路

路徑，好比在無向圖G中，存在一個頂點序列V_p,V_i1,V_i2,V_i3…，V_im，V_q，使得(V_p,V_i1)，(V_i1,V_i2)，…,(V_im,V_q)均屬於邊集E(G)，則稱頂點V_p到V_q存在一條路徑。

路徑長度，是指一條路徑上通過的邊的數量。

迴路，指一條路徑的起點和終點爲同一個頂點。

6，連通圖(無向圖)

連通圖是指圖G中任意兩個頂點V_i和V_j都連通，則稱爲連通圖。好比圖(b)就是連通圖。下面是一個非連通圖的例子。

上圖中，由於V₅和V₆是單獨的，因此是非連通圖。

7，強連通圖(有向圖)

強連通圖是對於有向圖而言的，與無向圖的連通圖相似。

8，網

帶」權值」的連通圖稱爲網。如圖所示。

三，圖的建立和遍歷

1，圖的兩種存儲結構

1) 鄰接矩陣，原理就是用兩個數組，一個數組保存頂點集，一個數組保存邊集。下面的算法實現裏邊咱們也是採用這種存儲結構。以下圖所示：

2) 鄰接表，鄰接表是圖的一種鏈式存儲結構。這種存儲結構相似於樹的孩子鏈表。對於圖G中每一個頂點V_i，把全部鄰接於V_i的頂點V_j鏈成一個單鏈表，這個單鏈表稱爲頂點V_i的鄰接表。

2，圖的兩種遍歷方法

1) 深度優先搜索遍歷

深度優先搜索DFS遍歷相似於樹的前序遍歷。其基本思路是：

a) 假設初始狀態是圖中全部頂點都不曾訪問過，則可從圖G中任意一頂點v爲初始出發點，首先訪問出發點v，並將其標記爲已訪問過。

b) 而後依次從v出發搜索v的每一個鄰接點w，若w不曾訪問過，則以w做爲新的出發點出發，繼續進行深度優先遍歷，直到圖中全部和v有路徑相通的頂點都被訪問到。

c) 若此時圖中仍有頂點未被訪問，則另選一個不曾訪問的頂點做爲起點，重複上述步驟，直到圖中全部頂點都被訪問到爲止。

圖示以下：

注：紅色數字表明遍歷的前後順序，因此圖(e)無向圖的深度優先遍歷的頂點訪問序列爲：V₀，V₁，V₂，V₅，V₄，V₆，V₃，V₇，V₈

若是採用鄰接矩陣存儲，則時間複雜度爲O(n²)；當採用鄰接表時時間複雜度爲O(n+e)。

2) 廣度優先搜索遍歷

廣度優先搜索遍歷BFS相似於樹的按層次遍歷。其基本思路是：

a) 首先訪問出發點V_i

b) 接着依次訪問V_i的全部未被訪問過的鄰接點V_i1，V_i2，V_i3，…，V_it並均標記爲已訪問過。

c) 而後再按照V_i1，V_i2，… ，V_it的次序，訪問每個頂點的全部不曾訪問過的頂點並均標記爲已訪問過，依此類推，直到圖中全部和初始出發點Vi有路徑相通的頂點都被訪問過爲止。

圖示以下：

所以，圖(f)採用廣義優先搜索遍歷以V₀爲出發點的頂點序列爲：V₀，V₁，V₃，V₄，V₂，V₆，V₈，V₅，V₇

若是採用鄰接矩陣存儲，則時間複雜度爲O(n²)，若採用鄰接表，則時間複雜度爲O(n+e)。

四，最小生成樹和最短路徑

1，最小生成樹

什麼是最小生成樹呢？在弄清什麼是最小生成樹以前，咱們須要弄清什麼是生成樹？

用一句語簡單歸納生成樹就是：生成樹是將圖中全部頂點以最少的邊連通的子圖。

好比圖(g)能夠同時獲得兩個生成樹圖(h)和圖(i)

知道了什麼是生成樹以後，咱們就很容易理解什麼是最小生成樹了。所謂最小生成樹，用一句話總結就是：權值和最小的生成樹就是最小生成樹。

好比上圖中的兩個生成樹，生成樹1和生成樹2，生成樹1的權值和爲：12，生成樹2的權值爲：14，咱們能夠證實圖(h)生成樹1就是圖(g)的最小生成樹。

那麼如何構造最小生成樹呢？可使用普里姆算法。

2，最短路徑

求最短路徑也就是求最短路徑長度。下面是一個帶權值的有向圖，表格中分別列出了頂點V1其它各頂點的最短路徑長度。

源點	最短路徑	終點		路徑長度
V1	V1，V3，V2	V2	中轉	5
V1	V1，V3	V3	直達	3
V1	V1，V3，V2，V4	V4	中轉	10
V1	V1，V3，V5	V5	中轉	18

表：頂點V₁到其它各頂點的最短路徑表

從圖中能夠看出，頂點V₁到V₄的路徑有3條(V₁，V₂，V₄)，(V₁，V₄)，(V₁，V₃，V₂，V₄)，其路徑長度分別爲15，20和10，所以，V₁到V₄的最短路徑爲(V₁，V₃，V₂，V₄)。

那麼如何求帶權有向圖的最短路徑長度呢？可使用迪傑斯特拉(Dijkstra)算法。

五，算法實現

C#版：