最大子數組和股票買賣問題

最大子數組問題

最大子數組問題：一個整數數組中的元素有正有負，在該數組中找出一個連續子數組，要求該連續子數組中各元素的和最大，並返回該最大值.

求解最大子數組問題用Kadane's algorithm。 卡登算法的思想是，給定一個數組A，假如咱們已經知道了以數組第i個位置結尾的最大子數組爲\(B_i\)，那麼在第i+1個位置結尾的最大子數組要麼包含\(B_i\),要麼不包含\(B_i\)，若是將\(B\)看做是動態規劃當中的狀態，那麼狀態轉移方程是：$B_{i+1} = max (A_i, A_i + B_i) $

好比要計算數組 x = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4] 的最大子數組，第一個位置的最大和爲-2，第2個位置的最大和爲max(1,-2+1) = 1,第三個位置最大和爲max(-3,-3+1) = -2,那麼依次類推，能夠求出來以第i個位置結尾的最大和分別爲
[0 , 1, -2, 4, 3, 5, 6, 1, 5]。

具體的算法是這樣的：

def max_subarray(arr):
    current_max_sum = max_sum = 0
    for i in arr:
        current_max_sum = max(i, current_max_sum+i)
        max_sum = max(current_max_sum, max_sum)
    return max_sum

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leetcode 121. Best Time to Buy and Sell Stock

買賣股票的最佳時機

給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定股票第 i 天的價格。若是你最多隻容許完成一筆交易（即買入和賣出一支股票），設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。注意你不能在買入股票前賣出股票。

示例 1:

輸入: [7,1,5,3,6,4]
輸出: 5
解釋: 在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出，最大利潤 = 6-1 = 5。注意利潤不能是 7-1 = 6, 由於賣出價格須要大於買入價格。

示例 2:

輸入: [7,6,4,3,1]
輸出: 0
解釋: 在這種狀況下, 沒有交易完成, 因此最大利潤爲 0。

解法一

直接將後一天的股票價格減去前一天的股票價格，表示第i-1天買入而且在第i天賣出得到的利潤。而後求一個連續的利潤，使得和最大，那麼這個問題轉換爲求最大子數組問題。
好比對於[7,1,5,3,6,4]，用後一天的價格減去前一天的價格，並把第一天的值置爲0，天天能夠得到的利潤爲：[0,-6,4,-2,3,-2]

Python代碼以下：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices):
        """
        :type prices: List[int]
        :rtype: int
        """
        for i in range(len(prices)-1, 0, -1):
            prices[i] = prices[i] - prices[i-1]

        max_profits = 0
        current_profits = 0
        for i in prices[1:]:
            current_profits = max(current_profits+i, 0)
            max_profits = max(max_profits, current_profits)
            
        return max_profits

關於程序的說明：
對於程序的第13行，程序能夠寫爲current_profits = max(current_profits+i, i)，這對於計算結果沒問題，可是對於計算current_profits的值會有影響。試想一下當輸入爲[3,2,1]的時候,通過處理之後數組變爲了[3,-1,-1]，那麼current_profits，會計算出來-1，-1這樣的值，可是這是不可能的，由於咱們徹底能夠不買，使用0值就能夠了，因此將這裏替換爲current_profits = max(current_profits+i, 0)，

解法二

將上面的代碼優化一下，能夠一遍來完成。current_profits = max(0, current_profits+prices[i]-prices[i-1])

class Solution:
    def maxProfit(self, prices):
        """
        :type prices: List[int]
        :rtype: int
        """
        max_profits = 0
        current_profits = 0
        for i in range(1, len(prices)):
            current_profits = max(0, current_profits + prices[i] - prices[i-1])
            max_profits = max(max_profits, current_profits)
        return max_profits

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leetcode121.Best Time to Buy and Sell Stock II

給定一個數組，它的第 i 個元素是一支給定股票第 i 天的價格。設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。你能夠儘量地完成更多的交易（屢次買賣一支股票）。注意：你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉以前的股票）。

示例 1:

輸入: [7,1,5,3,6,4]
輸出: 7
解釋: 在第 2 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 3 天（股票價格 = 5）的時候賣出,這筆交易所能得到利潤 = 5-1 = 4 。隨後，在第 4 天（股票價格 = 3）的時候買入，在第 5 天（股票價格 = 6）的時候賣出, 這筆交易所能得到利潤 = 6-3 = 3 。

示例 2:

輸入: [1,2,3,4,5]
輸出: 4
解釋: 在第 1 天（股票價格 = 1）的時候買入，在第 5 天 （股票價格 = 5）的時候賣出,這筆交易所能得到利潤 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接連購買股票，以後再將它們賣出。由於這樣屬於同時參與了多筆交易，你必須在再次購買前出售掉以前的股票。

示例 3:

輸入: [7,6,4,3,1]
輸出: 0
解釋: 在這種狀況下, 沒有交易完成, 因此最大利潤爲 0。

貪心算法走一波，貪心算法能夠解決這個問題，只要當前的價格比昨天的價格高，那麼就計算一次收益，最終的收益和就是可以獲取的最大的收益。

Python代碼以下：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices):
        """
        :type prices: List[int]
        :rtype: int
        """
        res = 0
        for i in range(1, len(prices)):
            diff = prices[i] - prices[i-1]
            if diff > 0:
                res += diff
        return res

參考：
Maximum subarray problem 之 Kadane's algorithm