泊松分酒原理

有一個12品脫(pint)的酒瓶，裏面裝滿葡萄酒，另有8品脫和5品脫的瓶子各一個。問如何從中分出6品脫的酒出來？

傳說泊松年輕時成功解決了該問題，勾起了他對數學的興趣而投身數學研究，所以該問題被稱爲泊松分酒問題。另外這個問題又被稱爲分油問題啦，分水問題啦等等。

小學的時候在一本《十萬個問什麼——數學卷》中看到過這個問題，那本書直接給出了一個解答過程，又沒說原理，看得我糊里糊塗。

一 .  解答過程

 

爲了方便說明，將容量爲12品脫，8品脫，5品脫瓶子分別稱爲大瓶子，中瓶子，小瓶子。按照下面2種規則中的如何一種能夠解決這個問題：

第一套規則：

1. 大瓶子只能倒入中瓶子

2. 中瓶子只能倒入小瓶子

3. 小瓶子只能倒入大瓶子

4. 小瓶子只有在已經裝滿的狀況下才能倒入大瓶子

5. 若小瓶子被倒空，則不管中瓶子是否滿，應立刻從中瓶子倒入小瓶子

 

之因此要規定倒酒的順序是爲了防止狀態重複。而根據這5條規則，大瓶子每次倒入中瓶子的酒老是8品脫，小瓶子每次倒入大瓶子的酒老是5品脫。（請結合下面的表來理解這句話，理解這點很重要）

 

有了上面的規定後，倒酒的順序就肯定下來了：

12品脫瓶子	8品脫瓶子	5品脫瓶子
12	0	0	初始狀態
4	8（倒進）	0
4	3	5（倒出）
9	3	0
9	0	3
1	8（倒進）	3
1	6	5（倒出）	搞到6品脫了
6	6	0	完成

 

第二套規則：

1. 大瓶子只能倒入小瓶子

2. 小瓶子只能倒入中瓶子

3. 中瓶子只能倒入大瓶子

4. 中瓶子只有在已經裝滿的狀況下才能倒入大瓶子

5. 若中瓶子被倒空，則不管小瓶子是否滿，應立刻將小瓶子倒入中瓶子

 

其實只是將第一套規則中的「中」和「小」兩個字對換了一下。

根據這個規則肯定的倒酒的順序以下（注意，我將8品脫和5品脫的位置交換了一下）：

 

12品脫瓶子	5品脫瓶子	8品脫瓶子
12	0	0
7	5（倒進）	0
7	0	5
2	5（倒進）	5
2	2	8（倒出）
10	2	0
10	2	2
5	5（倒進）	2
5	0	7
0	5（倒進）	7
0	4	8（倒出）
8	4	0
8	0	4
3	5（倒進）	4
3	1	8（倒出）
11	1	0
11	0	1
6	5（倒進）	1	搞到6品脫了
6	0	6	完成

 

好了試試用這兩種規則之一解決以下分酒問題吧：

大瓶子容量10，中瓶子容量7，小瓶子容量3，要分出來5

 

二.  原理

設大，中，小三個瓶子容量分別是C1，C2，C3，須要倒出的容量是R

則實際上要是咱們能將容量爲R的酒倒到中瓶子和小瓶子中就能夠啦（有點廢話）

設大瓶子倒滿中瓶子X次，從小瓶子中倒入大瓶子Y次。

那麼顯然由大瓶子累次倒入中瓶子和小瓶子總共C2*X的酒。而由小瓶子倒入大瓶子一共有C3*Y的酒。

那麼最終，小瓶子和中瓶子剩餘的酒顯然就是 C2*X - C3*Y

所以，泊松分酒問題實質上轉化爲下面的不定方程是否有正整數解的問題：

 

C2*X - C3*Y = R

對於咱們的問題，

C1=12，C2=8，C3=5，R=6

第一種倒酒規則實質上至關於解下面這個不定方程：

8X - 5Y = 6  （ 限定 X > 0 ，Y > 0 ）

最小整數解是 X=2，Y= 2

 

表示倒滿8品脫的瓶子2次，5品脫的瓶子倒空2次

那麼8品脫的瓶子和5品脫的瓶子剩酒總量必然是 8 * 2 – 5 * 2 = 6

第二種倒酒規則實質上至關於解下面的不定方程：

5X - 8Y = 6 （ 限定 X > 0 , Y > 0 ）

最小整數解是 X = 6 ，Y= 3

表示倒進5品脫瓶子6次，從8品脫瓶子中倒出3次

那麼最終5品脫和8品脫的瓶子剩酒總量必然是 5 * 6 – 8 * 3 = 6

 

好了，如今你明白爲何要規定倒酒的順序了吧。小瓶子和中瓶子是一個系統，而大瓶子又是另一個系統，大瓶子的酒只能倒入中瓶子和小瓶子組成的系統，小瓶子的酒只能倒出到大瓶子的系統。咱們關注的是由中瓶子和小瓶子組成的系統，這個系統每次增長都是8品脫（中瓶子容量），每次減小都是5品脫（小瓶子容量）。

另外，若是存在X和Y，使得下面的方程有解：

C2*X - C3*Y = 1

實質上就是說可以倒出1品脫的酒，那麼任意品脫的酒都能倒出了。

由於:

(C2*X - C3*Y)*N = N