漫畫：有趣的【海盜】問題

 小灰 程序員小灰 

     

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海盜分金幣問題：

有5個海盜，得到了100枚金幣，因而他們要商量一個方法來分配金幣。商議方式以下：

1. 由5個海盜輪流提出分配方案。

2. 若是超過半數海盜（包括提出者）贊成該方案，則按照該方案分配。

3. 若是贊成該方案的人數（包括提出者）小於等於半數，則提出者要被扔到海里餵魚，剩下的海盜繼續商議分配。

4. 海盜們都是絕對理性的，以本身儘量多得到金幣爲目的。可是在收益相等的狀況下，會傾向把提出者扔到海里。

問：第一個海盜應該提出怎樣的分配方案，才能保證本身既不被扔到海里，又能使本身利益最大化？

舉一個栗子：

此時第一個海盜來提議分配方案，他說：

我要100枚金幣，大家其餘人一個金幣也沒有！

顯然，其餘小夥伴一致反對，結果第一個提出者被扔到了海里。

接下來輪到第二個海盜提出分配方案，他說：

我只要1個金幣，剩下3個小夥伴每人33個金幣！

第三個海盜反對，剩下兩個小夥伴贊成，贊成者超過了半數（4 : 1），因而按照這個方法執行了分配。

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如何利用遞歸思想來簡化問題呢？讓咱們來詳細分析一下，後文把五個海盜簡稱爲老1、老2、老3、老4、老五。

老一在提出分配方案的時候，不妨這樣思考：

若是我被扔到海里了，剩下4個海盜，此時老二的最優分配方案是什麼呢？

我只要在老二的分配方案上稍微增長一點，就能贏得更多的支持。

老二在提出分配方案的時候，也會這樣思考：

若是我被扔到海里了，剩下3個海盜，此時老三的最優分配方案是什麼呢？

我只要在老三的分配方案上稍微增長一點，就能贏得更多的支持。

老三在提出分配方案的時候，仍是會這樣思考：

若是我被扔到海里了，剩下2個海盜，此時老四的最優分配方案是什麼呢？

我只要在老四的分配方案上稍微增長一點，就能贏得更多的支持。

整個遞歸過程，就像下圖同樣：

這個遞歸過程到何時截止呢？剩下兩我的爲止。

想一想看，當剩下兩我的的時候，是什麼情形？

此時老四沒有任何選擇！不管他如何分配，哪怕把100枚金幣都給老五，老五仍然能夠反對，致使老四被扔到海里，金幣全歸老五全部。

由此，老三心想：老四沒有最優決策，因此不管我提出什麼要求，老四都必定會贊成，而老五必定不一樣意。

因爲只要超過半數贊成就能夠執行分配，因此老三的最優策略以下：

接下來，老二暗自尋思：若是沒有我，老三能得到100枚金幣，因此不管如何不會贊成我。但我能夠設法「籠絡」老四和老五，造成 3 : 1 的局面。

在老三的「淫威」下，他們本來一個金幣都得不到。我給他們一人一枚金幣，好過由老三來分配，因此他們確定會贊成。

所以，老二的最優策略以下：

終於輪到老一了，老一內心琢磨：若是沒有我，老二能得到98枚金幣，我總不能分給他多於98枚，索性放棄他，只要剩下三人中籠絡到兩人，造成 3 : 2 的局面便可。

要籠絡誰呢？以老二的策略，老三得不到金幣，因此老三最好「伺候」。我給老三1枚，老三必定贊成。

至於老四和老五，原本能夠獲得1枚，因此我必須比老二給的多，才能贏得支持。但我又不必同時籠絡他倆，要麼給老四兩枚金幣，放棄老五，要麼給老五兩枚金幣，放棄老四。

所以，老一的最優策略以下：