質數

質數的定義

質數又稱做素數.
質數是除了1和自己沒有其餘因數的數.
與之相反的是合數.
1不屬於質數或合數.

質數的判斷

假設咱們要判斷\(n\)是否是質數.
從2枚舉\(n-1\),若能整除\(n\),\(n\)就不是質數.
時間複雜度\(O(n)\).
但因數是成對的(除了\(\sqrt n\))
令\(n=c_1 c_2\),假設\(c_1 \le c_2\)
則\(c_1 \le \sqrt n , c_2 \ge \sqrt n\)
因此只需枚舉到\(\sqrt n\).

bool isprime(long long x) {
    for(int i=2; i<=sqrt(x); i++) {
        if(x%i==0) return false;
    }
    return true;
}

時間複雜度\(O(\sqrt n)\).

質數篩法

如今咱們要求\(1\)到\(n\)中所有質數.

暴力

最簡單的辦法就是判斷每一個數是否爲質數.
時間複雜度\(O(n \sqrt n)\).

埃氏篩法

從\(1\)到\(\sqrt n\),若這個數沒有被標記,即爲質數.
只要發現了一個質數\(t\),就把從\(1\)到\(n\)中所有\(t\)的倍數標記.
時間複雜度\(O(n \log n)\)

歐拉線性篩法

對於每一個\(i(1<i<n)\),篩去全部小於\(i\)的質數與\(i\)的乘積.
不難發現,有些合數被重複篩去.
設全部小於\(i\)的質數分別爲\(p_1,p_2,...,p_j\).
當\(i\)%\(p_k=0\)時,中止篩\(i\)的倍數,便可避免重複.
由於當\(l>k\)時,全部\(i*p_l\)都會被比\(i\)大的數與\(p_k\)的乘積篩去.

for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!vis[i]) {
        cnt++;
        pri[cnt]=i;
    }
    for(int j=1;i*pri[j]<=n;j++){
        vis[i*pri[j]]=true;
        if(i%pri[j]==0) break;
    }
}

時間複雜度\(O(n)\)

質因數分解

一個數的質因數一定小於等於\(\sqrt n\).
只需把\(i\)從\(2\)枚舉到\(\sqrt n\),從\(n\)中去掉全部\(i\)並作記錄,就能求出\(n\)的質因數.

for(int i=2;i<=sqrt(n);i++) {
    while(n%i==0) {
        n/=i;
        cnt[i]++;
    }
}

時間複雜度\(O(\sqrt n)\)

歐拉函數

歐拉函數是從\(1\)到\(n-1\)的數中與\(n\)互質的數的個數.

性質

1.對於質數\(n\),\(φ(n)=n-1\).
2.對於質數\(p\),\(φ(p^k)=(p-1)*p^{k-1}\).

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