題目描述html
給出一個長度爲 $n$ 的序列,支持 $m$ 次操做,操做有四種:區間加、區間下取整除、區間求最小值、區間求和。數據結構
$n\le 100000$ ,每次加的數在 $[-10^4,10^4]$ 之間,每次除的數在 $[2,10^9]$ 之間。ui
題解spa
線段樹+均攤分析htm
和 【uoj#228】基礎數據結構練習題 相似的均攤分析題。blog
對於原來的兩個數 $a$ 和 $b$ ( $a>b$ ) ,原來的差是 $a-b$ ,都除以 $d$ 後的差是 $\frac{a-b}d$ ,至關於差也除了 $d$ 。get
而當區間差爲 $0$ 或 $a=kd,b=kd-1$ 的 $1$ 時,區間下取整除就變成了區間減。it
所以當一個區間下取整除了 $\log(Max-Min)$ 次後就不須要暴力下取整除,直接區間減便可。io
定義線段樹節點勢能爲 $\log(Max-Min)$ ,那麼每次對 $[l,r]$ 下取整除就是將全部 $l\le x,y\le r$ ,且勢能不爲 $0$ 的節點 $[x,y]$ 的勢能減 $1$ ,代價爲勢能減小總量。class
分析區間加操做:只會修改到通過的節點的勢能,影響 $\log$ 個節點,將這些點的勢能恢復爲 $\log(Max-Min)$ 。
所以總的時間複雜度就是總勢能量 $O((n+m\log n)\log a)$ 。
注意C++中的 '/' 並非下取整,而是向0取整,所以須要按正負分類討論手寫下取整。
#include <cstdio> #include <algorithm> #define N 400010 #define lson l , mid , x << 1 #define rson mid + 1 , r , x << 1 | 1 using namespace std; typedef long long ll; ll sum[N] , mx[N] , mn[N] , add[N]; inline ll fdiv(ll x , ll y) { return x > 0 ? x / y : (x - y + 1) / y; } inline void pushup(int x) { sum[x] = sum[x << 1] + sum[x << 1 | 1]; mx[x] = max(mx[x << 1] , mx[x << 1 | 1]); mn[x] = min(mn[x << 1] , mn[x << 1 | 1]); } inline void pushdown(int l , int r , int x) { if(add[x]) { int mid = (l + r) >> 1; sum[x << 1] += add[x] * (mid - l + 1) , sum[x << 1 | 1] += add[x] * (r - mid); mx[x << 1] += add[x] , mx[x << 1 | 1] += add[x]; mn[x << 1] += add[x] , mn[x << 1 | 1] += add[x]; add[x << 1] += add[x] , add[x << 1 | 1] += add[x]; add[x] = 0; } } void build(int l , int r , int x) { if(l == r) { scanf("%lld" , &sum[x]) , mx[x] = mn[x] = sum[x]; return; } int mid = (l + r) >> 1; build(lson) , build(rson); pushup(x); } void vadd(int b , int e , ll a , int l , int r , int x) { if(b <= l && r <= e) { sum[x] += a * (r - l + 1) , mx[x] += a , mn[x] += a , add[x] += a; return; } pushdown(l , r , x); int mid = (l + r) >> 1; if(b <= mid) vadd(b , e , a , lson); if(e > mid) vadd(b , e , a , rson); pushup(x); } void vdiv(int b , int e , ll d , int l , int r , int x) { if(b <= l && r <= e && mx[x] - fdiv(mx[x] , d) == mn[x] - fdiv(mn[x] , d)) { ll a = mx[x] - fdiv(mx[x] , d); sum[x] -= a * (r - l + 1) , mx[x] -= a , mn[x] -= a , add[x] -= a; return; } pushdown(l , r , x); int mid = (l + r) >> 1; if(b <= mid) vdiv(b , e , d , lson); if(e > mid) vdiv(b , e , d , rson); pushup(x); } ll qmin(int b , int e , int l , int r , int x) { if(b <= l && r <= e) return mn[x]; pushdown(l , r , x); int mid = (l + r) >> 1; ll ans = 1ll << 62; if(b <= mid) ans = min(ans , qmin(b , e , lson)); if(e > mid) ans = min(ans , qmin(b , e , rson)); return ans; } ll qsum(int b , int e , int l , int r , int x) { if(b <= l && r <= e) return sum[x]; pushdown(l , r , x); int mid = (l + r) >> 1; ll ans = 0; if(b <= mid) ans += qsum(b , e , lson); if(e > mid) ans += qsum(b , e , rson); return ans; } int main() { int n , m , opt , x , y; ll z; scanf("%d%d" , &n , &m); build(1 , n , 1); while(m -- ) { scanf("%d%d%d" , &opt , &x , &y) , x ++ , y ++ ; if(opt == 1) scanf("%lld" , &z) , vadd(x , y , z , 1 , n , 1); if(opt == 2) scanf("%lld" , &z) , vdiv(x , y , z , 1 , n , 1); if(opt == 3) printf("%lld\n" , qmin(x , y , 1 , n , 1)); if(opt == 4) printf("%lld\n" , qsum(x , y , 1 , n , 1)); } return 0; }