好久之前作的一道思博題了,今天來補一補。git
大體題意:在一個\(n*m\)的矩陣內填整數,數字在\([1,k]\)範圍內。矩陣中某格的數爲great number當且僅當與它同行同列的數字都嚴格比它小。記\(A_g\)爲矩陣中恰有\(g\)個great number的填數方案數,求\(\sum_{g=0}^{nm}(g+1)\cdot A_g\)。(\(n,m,k\le200\))ui
首先咱們能夠看出,上界一定是\(min(n,m)\),這個不解釋了吧spa
而又有一個性質,\(\sum_{g=0}^{min(n,m)} A_g=K^{nm}\)。即全部的great number方案數等於總填數方案數code
因此咱們拆出\(\sum_{g=0}^{min(n,m)} A_g\)因而只須要考慮如何構造出\(\sum_{g=0}^{min(n,m)} g\cdot A_g\)it
咱們仍是回頭再看一眼題面,\(g\)到底是什麼:io
記\(A_g\)爲矩陣中恰有\(g\)個great number的填數方案數class
那麼每個great number在該方案下都對答案貢獻\(1\)static
還不懂?再轉化一步,也就是每一個格子上的數爲great number的方案數之和di
這就是\(\sum_{g=0}^{min(n,m)} g\cdot A_g=nm\cdot\sum_{i=2}^k (i-1)^{n+m-2}\cdot k^{(n-1)\cdot (m-1)}\)while
而後各類亂搞就能夠了
CODE
#include<cstdio> #include<cctype> using namespace std; const int mod=1e9+7; int t,n,m,k,ans; inline char tc(void) { static char fl[100000],*A=fl,*B=fl; return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++; } inline void read(int &x) { x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc())); while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc())); } inline int quick_pow(int x,int p) { long long tot=1; while (p) { if (p&1) tot=tot*1LL*x%mod; x=1LL*x*x%mod; p>>=1; } return (int)tot; } inline void inc(int &x,int y) { if ((x+=y)>=mod) x-=mod; } int main() { //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout); register int i,j; read(t); for (i=1;i<=t;++i) { read(n); read(m); read(k); for (ans=0,j=2;j<=k;++j) inc(ans,1LL*quick_pow(j-1,n+m-2)*quick_pow(k,n*m-n-m+1)%mod); ans=(1LL*ans*n*m)%mod; inc(ans,quick_pow(k,n*m)); printf("Case #%d: %d\n",i,ans); } return 0; }