堆的應用

1. 堆的應用一：優先級隊列

優先級隊列，顧名思義，它首先應該是一個隊列。隊列最大的特性就是先進先出，而在優先級隊列中，數據的出隊順序則是按照優先級來，優先級高的先出隊。

實現優先級隊列的方法有不少，可是用堆來實現是最直接、最高效的。堆和優先級隊列很是類似，一個堆就能夠看做一個優先級隊列。從優先級隊列中取出優先級最高的元素，就至關於取出堆頂元素。

1.1. 合併有序小文件

假設咱們有 100 個小文件，每一個文件的大小是 100 MB，每一個文件中存儲的都是有序的字符串，如今咱們要將這些小文件合併成一個有序的大文件，就要用到優先級隊列。

總體思路有點像歸併排序的合併操做。咱們從這 100 個文件中各自取出第一個字符串放入到數組中，而後比較大小，將最小的字符串放入合併後的文件，並從數組中刪除。

假如這個最小的字符串來自文件 1.txt，那麼咱們就再從這個文件中取出下一個字符串放入數組，從新進行比較，找出最小的字符串加入到大文件中，而後從數組中刪除。以此類推，直到咱們遍歷完全部小文件爲止。

這裏，咱們每次從數組中找出最小的字符串都要進行一遍遍歷。顯然，這不是很高效。

其實，咱們就能夠把數組改爲優先級隊列，或者說是堆。咱們把從小文件中取出來的字符串放入到小頂堆，那麼，堆頂的元素就是最小的也就是優先級最高的元素。每次，咱們都將堆頂元素放入到大文件中並將其從堆頂刪除，而後再取出下一個字符串放入堆中，直到全部小文件都遍歷完畢便可。

刪除堆頂元素和往堆中插入數據的時間複雜度都爲 $O(logn)$，$n$ 表明堆中的數據個數，這裏就是 100，比數組快多了。

1.2. 高性能定時器

假設咱們有一個定時器，定時器中維護了不少定時任務，每一個任務都設定了一個 要觸發執行的時間點。定時器每隔一個很小的時間單位（好比 1 秒）就會掃描一遍任務，看是否有任務須要執行。

可是，這樣作就很是低效。首先，若是距離任務執行時間點還太遠，那麼許多的掃描都是徒勞的。其次，每次咱們都須要掃描整個任務列表，若是任務列表很大的話，就會比較耗時。

針對此，咱們就能夠按照任務執行時間的前後順序來創建一個優先級隊列，優先級最高的任務就是小頂堆的堆頂元素。

咱們拿堆頂元素的執行時間點，與當前時間點相減，獲得一個時間間隔 T。也就是說，從當前時間點再等待 T 時間，纔有第一個任務須要執行。在這期間，咱們就無需再查詢了。等到 T 時間後，咱們取出堆頂任務執行，而後再從新計算差值，繼續等待。

2. 堆的應用二：利用堆求 Top K

求 Top K 的問題能夠分爲兩類。一類是靜態數據，數據集合事先知道，不會再變。另外一類是動態數據，數據集合事先並不知道，有數據動態地加入到數據集合中。

針對靜態數據，咱們能夠維護一個大小爲 K 的小頂堆。順序遍歷數組，若是數據小於堆頂元素，則不做處理繼續遍歷；若是數據大於堆頂元素，則刪除堆頂元素並將當前數據插入到堆中。遍歷完數組後，堆中數據即爲前 K 大元素。

遍歷數據須要 $O(n)$ 的時間複雜度，而每一次堆操做須要 $O(logk)$ 的時間複雜度，因此最壞狀況下，$n$ 個元素都入堆，時間複雜度爲 $O(nlogk)$。

針對動態數據，咱們能夠一直維護一個大小爲 K 的小頂堆，每當有新數據加入到集合中時，咱們就拿它和堆頂元素進行比較，而後按照和上面靜態數據同樣的策略更新堆。這樣，不管任什麼時候候須要查詢前 K 大數的時候，咱們均可以直接返回隊中的元素便可。

3. 堆的應用三：利用堆求中位數

所謂中位數，就是處於中間位置的數字。若是數據的個數爲奇數，那麼第 $\frac{n}{2}+1$ 個數據就是中位數；若是數據的個數爲偶數，那麼於中間位置的數字有兩個，咱們能夠取第 $\frac{n}{2}+1$ 或第 $\frac{n}{2}$ 個數據做爲中位數。

對於靜態數據，咱們能夠先對數據進行排序，而後取出中間位置的數據便可。雖然排序的代價比較大，可是邊際成本會很小，咱們只須要排序一次。

可是，針對動態數據，若是每次查詢中位數的時候都對數據進行排序，那效率就不高了。藉助堆這種數據結構，咱們不用排序，就能夠很是高效地找到中位數。

咱們須要維護兩個堆，一個大頂堆，一個小頂堆。大頂堆中存儲前半部分數據，小頂堆中存儲後半部分數據，並且小頂堆中的數據都大於大頂堆中的數據。這時候，大頂堆的堆頂元素也就是咱們要找的中位數。

若是是偶數狀況，那麼大頂堆就有 $\frac{n}{2}$ 個數據，小頂堆就有 $\frac{n}{2}$ 個數據；若是是奇數狀況，那麼大頂堆就有 $\frac{n}{2}+1$ 個數據，小頂堆就有 $\frac{n}{2}$ 個數據。

若是新加入的數據小於等於大頂堆的堆頂元素，咱們就將這個數據插入到大頂堆；不然，咱們就將這個數據插入到小頂堆。

這時候，就有可能會出現兩個堆中的數據個數不符合前面的約定。咱們能夠從一個堆中不停地將堆頂元素移動到另外一個堆中，來讓兩個堆中的數據個數從新知足上面的約定。

除此以外，咱們還能夠利用一樣的原理來快速求出其餘百分位的數據。假如咱們要找出接口的 99% 響應時間？

所謂 99% 的響應時間，就是對響應時間排完序後處於 99%n 位置的數據。咱們依然創建一個大頂堆和一個小頂堆，其中大頂堆中保存 99%n 的數據，而小頂堆中保存 1%*n 的數據，而後依然按照上面處理中位數的操做對兩個堆進行維護。

參考資料-極客時間專欄《數據結構與算法之美》

獲取更多精彩，請關注「seniusen」!