使人驚豔的算法——蒙特卡洛採樣法

蒙特卡洛算法

使用機率來求π（圓周率）和定積分，在不使用任何公式和特殊計算方法的前提下，實現小數點後多位的準確率，真的驚豔到我了。

我第一次接觸蒙特卡洛算法，是在作數據採樣的時候，這個名字是20世紀40年代美國在第二次世界大戰中研製原子彈的「曼哈頓計劃」計劃的成員烏拉姆和馮·諾伊曼首先提出。 馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的Monte Carlo來命名。

但其實早在1777年，法國數學家布豐提出用投針實驗的方法求圓周率，就已經用到了蒙特卡羅法，只是那個時候並無特別命名。

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什麼是蒙特卡洛法？

假如籃子裏有1000個蘋果，讓你每次閉着眼睛找一個最大的，能夠不限制挑選次數。 因而，你能夠閉着眼隨機拿了一個，而後再隨機拿一個與第一個比，留下大的，再隨機拿一個，與前次留下的比較，又能夠留下大的。 循環往復這樣，拿的次數越多，挑出最大蘋果的可能性也就越大，但除非你把1000個蘋果都挑一遍，不然你沒法確定最終挑出來的就是最大的一個。

也就是說，蒙特卡洛算法是樣本越多，越能找到最佳的解決辦法，不過不保證是最好的，由於若是有10000個蘋果的話，說不定就能找到更大的。

也就是，經過大量隨機樣本，不使用任何公式和計算方法，獲得所要計算的值。 接下來，咱們用4個例子一塊兒來看看蒙特卡洛法的應用吧。

例子1：求10000個整數的中位數

先從中抽取m個數，m<10000，把它們的中位數近似地看做這個集合的中位數。 隨着m增大，近似結果是最終結果的機率也在增大。

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例子2：求圓周率

給定一個邊長爲1的正方形，其內部有一個相切的圓

根據高中知識，能夠簡單算出它們的面積之比是π/4。

當咱們在（0，1）的範圍內隨機選擇一個座標（x, y）時，每一個座標點被選中的機率相等。 則座標落在直徑爲1的正方形中的圓的機率爲：

由切比雪夫不等式可知，在生成大量隨機點的前提下咱們能獲得儘量接近圓周率的值。

如今，在這個正方形內部，隨機產生10000個點（即10000個座標對 (x, y)），計算它們與中心點的距離，從而判斷是否落在圓的內部。

若是這些點服從均勻分佈，那麼圓內的點應該佔到全部點的 π/4，所以將這個比值乘以4，就是π的值。經過R語言隨機模擬30000個點，π的估算值與真實值相差0.07%。

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例子3：設0≤f(x)≤1，求定積分

設隨機變量XX服從[0,1]上的均勻分佈，則Y=f(X)的數學指望爲

以估計J的值就是估計f(X)的數學指望值。 由辛欽大數定律，能夠用f(X)的觀察值的均值取估計f(X)的數學指望。 具體作法：

先用計算機產生n個服從[0,1]上均勻分佈的隨機數：

對每個xi，計算f(xi)。 而後計算

其精確值和用蒙特卡洛法獲得的模擬值以下：

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例子4：求天然底數e

首先考慮以下積分

接下來分別用蒙特卡洛積分和牛頓萊布尼茲公式計算，在蒙特卡洛方法中樣本不少時，它們的值應該相等。 利用蒙特卡洛方法，圖像大體以下

上述積分的目的是求陰影部分的面積，因此先在所標矩形內取n對隨機點

對於每一對

考察是否知足以下條件

假設知足上述條件的點有 m個，而所有的點有 n 個，因此獲得近似公式爲

而依據牛頓萊布尼茲公式能夠獲得

這兩種方法結果應該是相等的，即有

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