整數劃分問題

整數劃分問題是算法中的一個經典命題之一，有關這個問題的講述在講解到遞歸時基本都將涉及。所謂整數劃分，是指把一個正整數n寫成以下形式：

       n=m1+m2+...+mi; （其中mi爲正整數，而且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}爲n的一個劃分。

       若是{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的一個m劃分。這裏咱們記n的m劃分的個數爲f(n,m);

       例如但n=4時，他有5個劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

       注意4=1+3 和 4=3+1被認爲是同一個劃分。

       該問題是求出n的全部劃分個數，即f(n, n)。下面咱們考慮求f(n,m)的方法;

 

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                                           （一）遞歸法

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       根據n和m的關係，考慮如下幾種狀況： 

       （1）當n=1時，不論m的值爲多少（m>0)，只有一種劃分即{1};

        (2)  當m=1時，不論n的值爲多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,...,1};

        (3)  當n=m時，根據劃分中是否包含n，能夠分爲兩種狀況：

              (a). 劃分中包含n的狀況，只有一個即{n}；

              (b). 劃分中不包含n的狀況，這時劃分中最大的數字也必定比n小，即n的全部(n-1)劃分。

              所以 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

        (4) 當n<m時，因爲劃分中不可能出現負數，所以就至關於f(n,n);

        (5) 但n>m時，根據劃分中是否包含最大值m，能夠分爲兩種狀況：

               (a). 劃分中包含m的狀況，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和爲n-m，可能再次出現m，所以是（n-m）的m劃分，所以這種劃分

                     個數爲f(n-m, m);

               (b). 劃分中不包含m的狀況，則劃分中全部值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數爲f(n,m-1);

              所以 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

 

         綜合以上狀況，咱們能夠看出，上面的結論具備遞歸定義特徵，其中（1）和（2）屬於迴歸條件，（3）和（4）屬於特殊狀況，將會轉換爲狀況（5）。而狀況（5）爲通用狀況，屬於遞推的方法，其本質主要是經過減少m以達到迴歸條件，從而解決問題。其遞推表達式以下：

         f(n, m)=       1;                                (n=1 or m=1)

                            f(n, n);                         (n<m)

                            1+ f(n, m-1);                (n=m)

                            f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

public static int divideInteger(int n, int m ){
		if (n<0||m<0) {
			return 0;
		}
		if (n==1||m==1) {
			return 1;
		}
		if (n<m) {
			return divideInteger(n, n);
			
		}
		if (n>m) {
			return divideInteger(n, m-1)+divideInteger(n-m, m);	
		}
			return 1+divideInteger(n, m-1);
	}