7219:複雜的整數劃分問題

題目連接：

http://noi.openjudge.cn/ch0207/7219/

http://bailian.openjudge.cn/practice/4119/

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描述

將正整數n 表示成一系列正整數之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整數n 的這種表示稱爲正整數n 的劃分。

輸入

標準的輸入包含若干組測試數據。每組測試數據是一行輸入數據,包括兩個整數N 和 K。 
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)

輸出

對於每組測試數據，輸出如下三行數據:
第一行: N劃分紅K個正整數之和的劃分數目
第二行: N劃分紅若干個不一樣正整數之和的劃分數目
第三行: N劃分紅若干個奇正整數之和的劃分數目

樣例輸入

5 2

樣例輸出

2
3
3

輸出說明

第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

分析

參考來源：http://blog.csdn.net/tp7309/article/details/54880495

整數劃分問題這幾個變形確實很經典，須要一個個說明下： 
設dp[n][m]表示數n劃分方案中，每一個數 不大於m 的劃分數。

N劃分紅若干個可相同正整數之和（遞歸分析與實現）

劃分分兩種狀況：

• 劃分中每一個數都小於m：則劃分數爲dp[n][m-1]。
• 劃分中至少有一個數等於m：則從n中減去去m，而後從n-m中再劃分，則劃分數爲dp[n-m][m]。

動態轉移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]。

N劃分紅若干個不一樣正整數之和

劃分分兩種狀況：

• 劃分中每一個數都小於m：則劃分數爲dp[n][m-1]。
• 劃分中至少有一個數等於m：則從n中減去m，而後從n-m中再劃分，且再劃分的數中每一個數要小於m, 則劃分數爲dp[n-m][m-1]。

動態轉移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]。

N劃分紅K個正整數之和（遞歸分析與實現）

設dp[n][k]表示數n劃分紅k個正整數之和時的劃分數。 
劃分分兩種狀況：

• 劃分中不包含1：則要求每一個數都大於1，能夠先拿出k個1分到每一份，以後在n-k中再劃分k份，即dp[n-k][k]。
• 劃分中包含1：則從n中減去1，而後從n-1中再劃分k-1份, 則劃分數爲dp[n-1][k-1]。

動態轉移方程：dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]。

N劃分紅若干個奇正整數之和

設f[i][j]表示將數i分紅j個正奇數，g[i][j]表示將數i分紅j個正偶數。 
首先若是先給j個劃分每一個分個1，由於奇數加1即爲偶數，因此可得： 
f[i-j][j] = g[i][j]。 
劃分分兩種狀況：

• 劃分中不包含1：則要求每一個數都大於1，能夠先拿出k個1分到每一份，剛可將問題轉換爲」從i-j中劃分j個偶數」，即g[i-j][j]。
• 劃分中包含1：則從n中減去1，而後從n-1中再劃分k-1份, 則劃分數爲f[n-1][k-1]。

動態轉移方程：f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 using namespace std;
 4 #define N 51
 5 int dp1[N][N];    //N劃分紅K個正整數之和的劃分數目。
 6 int dp2[N][N];    //N劃分紅若干個不一樣正整數之和的劃分數目。
 7 int dp3[N][N];    //N劃分紅若干個可相同的正整數之和的劃分數目。
 8 int f[N][N];      //N劃分紅K個奇正整數之和的劃分數目。
 9 int g[N][N];      //N劃分紅K個偶正整數之和的劃分數目。
10 
11 void initDivideInt() {
12     memset(dp1, 0, sizeof(dp1));  //dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]
13     memset(dp2, 0, sizeof(dp2));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]
14     memset(dp3, 0, sizeof(dp3));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]
15 
16     for (int i = 1; i < N; i++) {
17         for (int j = 1; j < N; j++) {
18             if (i < j) {
19                 dp1[i][j] = 0;
20                 dp2[i][j] = dp2[i][i];
21                 dp3[i][j] = dp3[i][i];
22             }
23             else if (i == j) {
24                 dp1[i][j] = 1;
25                 dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + 1;
26                 dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + 1;
27             }
28             else {
29                 dp1[i][j] = dp1[i - j][j] + dp1[i - 1][j - 1];
30                 dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + dp2[i - j][j - 1];
31                 dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + dp3[i - j][j];
32             }
33         }
34     }
35 }
36 
37 //f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]
38 void initDivideOdd() {
39     f[0][0] = 1;
40     g[0][0] = 1;
41     for (int i = 1; i < N; i++) {
42         for (int j = 1; j <= i; j++) {
43             g[i][j] = f[i - j][j];
44             f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
45         }
46     }
47 }
48 
49 int main() {
50 //  freopen("in.txt", "r", stdin);
51     int n, k;
52     initDivideInt();
53     initDivideOdd();
54     while (cin >> n >> k) {
55         cout << dp1[n][k] << endl;
56         cout << dp2[n][n] << endl;
57 
58         int sum = 0;
59         for (int i = 0; i <= n; i++) {
60             sum += f[n][i];
61         }
62         cout << sum << endl;
63     }
64     return 0;
65 }

 

另外一篇分析：http://www.cnblogs.com/sjymj/p/5385436.html

推薦閱讀：http://blog.csdn.net/codingdd/article/details/61414550