C++動態規劃求解0-1揹包問題

問題描述：

給定n種物品和一揹包。物品i的重量是w_i，其價值爲v_i，揹包的容量爲C。問：應該如何選擇裝入揹包的物品，是的裝入揹包中物品的總價值最大？

細節須知：

暫無。

算法原理：

a.最優子結構性質

0-1揹包問題具備最優子結構性質。設（y₁，y₂，…，y_n）是所給0-1揹包問題的一個最優解，則（y₂，…，y_n）是下面相應子問題的一個最優解。

b.遞歸關係

設所給0-1揹包問題的子問題

的最優值爲m（i，j），即m（i，j）是揹包容量爲j，可選擇物品爲i，i+1，…，n時0-1揹包問題的最優值。有0-1揹包問題的最優子結構性質，能夠創建以下計算m（i，j）的遞歸式

    

  1 #include <iostream>
  2 #include <fstream>
  3 #include <ctime>
  4 #include <algorithm>
  5 #include <windows.h>
  6 using namespace std;
  7 #define N 10000
  8 
  9 //int w[5] = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 };            //商品的體積二、三、四、5
 10 //int v[5] = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 };            //商品的價值三、四、五、6
 11 //int bagV = 8;                            //揹包大小
 12 int dp[N][N];                    //動態規劃表
 13 //int item[5];                            //最優解狀況
 14 
 15 void findMax(int k,int n,int w[],int v[]) {                    //動態規劃
 16     for (int i = 1; i <= k; i++) {
 17         for (int j = 1; j <= n; j++) {
 18             if (j < w[i])
 19                 dp[i][j] = dp[i - 1][j];
 20             else
 21                 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
 22         }
 23     }
 24 }
 25 
 26 void findWhat(int i, int j,int w[],int v[],int item[]) {                //最優解狀況
 27     if (i > 0) {
 28         if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {
 29             item[i] = 0;
 30             findWhat(i - 1, j,w,v,item);
 31         }
 32         else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) {
 33             item[i] = 1;
 34             findWhat(i - 1, j - w[i],w,v,item);
 35         }
 36     }
 37 }
 38 
 39 void print(int k,int n,int item[]) {
 40     /*for (int i = 0; i < k+1; i++) {            //動態規劃表輸出
 41         for (int j = 0; j < n+1; j++) {
 42             cout << dp[i][j] << ' ';
 43         }
 44         cout << endl;
 45     }
 46     cout << endl;*/
 47     cout <<"The item number that should be put into the backpack is:";
 48     for (int i = 0; i < k+1; i++){            //最優解輸出
 49         if(item[i] == 1)
 50           cout << i << ' ';
 51     }
 52     cout << endl;
 53 }
 54 
 55 int main(void)
 56 {
 57     LARGE_INTEGER nFreq;
 58     LARGE_INTEGER nBeginTime;
 59     LARGE_INTEGER nEndTime;
 60     ofstream fout;
 61     double cost;
 62     int i,j,m,n,k;
 63     cout << "Please enter the number of times you want to run the program:";
 64     cin >> m;
 65     //int object_amount[m];
 66     //double runtime[m];
 67     fout.open("backpack.txt",ios::app);
 68     if(!fout){
 69         cerr<<"Can not open file 'backpack.txt' "<<endl;
 70         return -1;
 71     }
 72     fout.setf(ios_base::fixed,ios_base::floatfield);       //防止輸出的數字使用科學計數法
 73     srand((unsigned int)time(NULL));
 74     for(i = 0; i < m; i++){
 75         n = rand()%10000;
 76         k = rand()%10000;
 77         //object_amount[i] = k;
 78         fout<<k<<",";
 79         int item[k];
 80         cout << "The " << i+1 << "th test's backpack lattice number is:" << n << endl;
 81         cout << "The " << i+1 << "th test's object amount is:" << k << endl;
 82         int w[k];
 83         int v[k];
 84         memset(dp,0,sizeof(dp));
 85         w[0] = 0;
 86         v[0] = 0;
 87         for(j=1;j<k;j++){
 88             w[j]=rand()%100;
 89             v[j]=rand()%1000;
 90         }
 91         QueryPerformanceFrequency(&nFreq);
 92         QueryPerformanceCounter(&nBeginTime);
 93         findMax(k,n,w,v);
 94         findWhat(k,n,w,v,item);
 95         print(k,n,item);
 96         QueryPerformanceCounter(&nEndTime);
 97         cost=(double)(nEndTime.QuadPart - nBeginTime.QuadPart) / (double)nFreq.QuadPart;
 98         //runtime[i]=cost;
 99         fout<<cost<<endl;
100         cout<<"The running time is:"<<cost<<" s"<<endl;
101     }
102 /*    fout.open("backpack.txt",ios::app);
103     if(!fout){
104         cerr<<"Can not open file 'backpack.txt' "<<endl;
105         return -1;
106     }
107     fout.setf(ios_base::fixed,ios_base::floatfield);       //防止輸出的數字使用科學計數法
108     for(i=0;i<m;i++){
109            fout<<object_amount[i]<<","<<runtime[i]<<endl;
110     }*/
111     fout.close();
112     cout<<"Success!"<<endl;
113     return 0;
114 }

程序設計思路：

根據算法原理中所述遞歸關係，遞歸計算所有的m（i，j），獲得不一樣狀況下的最優解。

假設m[1][c]給出所要求的的0-1揹包問題的最優值。相應的最優解計算以下：

若是m[1][c]=m[2][c]，則x₁=0；不然x₁=1.當x₁=0是，由m[2][c]繼續構造最優解；當x₁=1時，有m[2][c-w₁]繼續構造最優解。以此類推，可構造出相應的最優解（x₁，x₂，…，x_n）。

時間複雜性分析：

從計算m（i，j）的遞歸式容易看出，對於0-1揹包問題的求解算法須要O（nc）計算時間，而算法解出最優方案須要O（n）計算時間，當揹包容量c很大時，算法須要的計算時間較多。

生成的數據可導入EXCEL中進行數據分析生成分析圖表。