動態規劃問題----國王和金礦

問題：

有一個國家發現了5座金礦，每座金礦的黃金儲量不一樣，須要參與挖掘的工人數也不一樣。參與挖礦工人的總數是10人。

每座金礦要麼全挖，要麼不挖，不能派出一半人挖取一半金礦。要求用程序求解出，要想獲得儘量多的黃金，應該選擇挖取哪幾座金礦？

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動態規劃有三個核心元素： 最優子結構、 邊界、 狀態轉移 方程式。

該問題中要求10個工人5個金礦，挖最多黃金的選擇。所以最優子結構有兩種狀況：

1. 10個工人4個金礦時，挖出最多黃金的選擇。
2. 4金礦，工人數：10-最後一個金礦須要的人數。

咱們把金礦數量設爲n，工人數設爲m，金礦的黃金量設爲g[]，金礦的用工量設爲數組p[],該問題中，各數據以下所示：

n=5,    m=10,    g = [400,500,200,300,350],    p = [5,5,3,4,3]

那麼5座金礦和4作金礦的最優選擇之間存在這樣的關係：F(5,10) = MAX(F(4,10),F(4,10-P[4]+G[4]))

如今給出邊界，也就是金礦數量n爲1時：

當n=1，m>=p[0]時，F(n,m) = g[0];

當n=1，m<p[0]時，F(n,m) = 0;

使用格子推導出全部的狀況：

 

 

 

對某一狀況進行分析，如F(3,8)，其結果就是MAX(F(2,8),F(2,8-P[3]) + G[3]) = 700

 

狀態轉移方程：

F(n,m) = 0 (n<=1,m<p[0]);

F(n,m) = g[0](n==1,m>=p[0]);

F(n,m) = F(n-1,m)(n>1,m<p[n-1]);

F(n,m) = max(F(n-1,m), F(n-1,m-p[n-1])+g[n-1])(n>1,m>=p[n-1]);

 

js代碼以下：

//n:金礦數量       m:工人數量      g:得到金額數組       p:須要工人數組

                  function getMostGold(n,m,g,p){

                        var preResults = [];

                        var results = [];

                        for(var i = 0; i <= m; i++){

                              if(i < p[0]){

                                    preResults[i] = 0;

                              }else{

                                    preResults[i] = g[0];

                              }

                        }

                        for(var t = 0;t < preResults.length; t++){

                              results[t] = preResults[t];

                        }           

                        if(n == 1){

                              return results[m];

                        }

                        for(var i = 1;i < n; i++){

                              for(var j = 0; j <= m; j++){

                                    if(j < p[i]){

                                          results[j] = preResults[j];

                                    }else{

                                          //實際上就是管無論最後一個金礦的問題

                                          results[j] = Math.max(preResults[j],preResults[j-p[i]] + g[i]);                                        

                                    }

                              }

                              console.log(results);

                              for(var t = 0;t < preResults.length; t++){

                                    preResults[t] = results[t];

                              }

                        }

                        return results[m];             

                  }

                  var g = [400,500,200,300,350];

                  var p = [5,5,3,4,3];

                  console.log(getMostGold(5,10,g,p));

 其中須要注意的是，js中數組拷貝須要使用深拷貝，使用淺拷貝（preResults = results）會產生數據問題。

原文連接以下：http://www.sohu.com/a/153858619_466939