級數

無窮個數相加

有意義：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …… + 1/2^n-1 = 2

無心義：1 + 2 + 3 + 4 +  …… = ∞

e = lim_x→∞(1+1/x)^x = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +  …… 

 

級數（ Σ 西格瑪）  Σ(∞ n=1)  表明  ，表示 n 從 1 到 無窮大。

例如，級數 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …… 的通項爲 a_n  = 1/2^n-1 ，前n項部分和爲S_n = 1 + 1/2 + …… + 1/2^n-1 = 2 * (1-1/2ⁿ)

例如，級數 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 + …… 的通項爲 a_n  = 1/(n+1)(n+2)，故此級數可寫爲 Σ(∞ n=1)1/(n+1)(n+2)

例如，級數 Σ(∞ n=1)(-1)^n-1，即爲 1 - 1 + 1 - 1 + ……

 

 

若 lim_x→∞S_n = S，則稱 Σ(∞ n=1)a_n 收斂，S 爲級數 Σ(∞ n=1)a_n 之和，記爲  Σ(∞ n=1)a_n = S。

若 lim_x→∞S_n 不存在，則稱 Σ(∞ n=1)a_n  是發散的。

例如， Σ(∞ n=1)1/2^n-1 是收斂的，且其和爲 2.

例如，級數Σ(∞ n=1)1+2+3+4+……+n+…… 是發散的，由於 S_n = 1+2+3+4+……+n = n(n+1)/2，lim_x→∞S_n = ∞.

 

幾何級數   例： Σ(∞ n=1)aq^n-1(a!=0)

當 |q|<1 時收斂，由於 S = lim_n→∞S_n = lim_n→∞(a-aqⁿ) /(1-q) = a/(1-q)

當 |q|>1 時發散，由於 S = lim_n→∞S_n = lim_n→∞(a-aqⁿ) /(1-q) = ∞

當 q=1 時發散，由於 S = a+a+a+……，S_n=na，lim_n→∞S_n = ∞

當 q=-1 時發散，由於 S = a-a+a-a+……，S_2n = 0，S_2n-1 = a，lim_n→∞S_n 不存在