數據結構學習筆記-時間複雜度

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時間複雜度定義

在進行算法分析時，語句總的執行次數T(n)是關於問題規模n的函數，進而分析T(n)隨n的變化狀況並肯定T(n)的數量級。算法的時間複雜度，也就是算法的時間量度，記做：T(n) = O(f(n))。它表示隨問題規模n的增大，算法執行時間的增加率和f(n)的增加率相同，稱做算法的漸近時間複雜度，簡稱爲時間複雜度。其中f(n)是問題規模n的某個函數。

這樣用大寫O()來體現算法的時間複雜度的記法，咱們稱之爲大O記法。

推導大O階方法

如何分析一個算法的時間複雜度呢？即如何推導大O階呢？咱們能夠參考下面的推導方法。

推導大O階：
1. 用常數1取代運行時間中的全部加法常數。
2. 在修改後的運行次數函數中，只保留最高階項。
3. 若是最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。
獲得的結果就是大O階。

下面讓咱們根據這個推導方法來看幾個例子。

常數階

int sum = 0,n = 100;  /* 執行一次 */
sum = (1 + n) * n/2;  /* 執行一次 */
System.out.println(sum);  /* 執行一次 */

這段程序的執行次數是f(3)。咱們使用大O階的方法推導一下：

1. 將常數項3改成1。
2. 保留最高階項。

沒有最高階項，因此這段程序的時間複雜度爲O(1).

能夠試想一下，若是這段代碼裏的

sum = (1 + n) * n/2;  /* 執行一次 */

一共有10句，那麼時間複雜度是多少呢？

事實上，不管有多少句該代碼，都不過是3次和屢次的執行差別。像這種執行時間恆定的算法，咱們稱之爲具備O(1)的時間複雜度，又叫常數階。

注意：不管這個常數是多少，咱們都記做O(1)。

同理，對於單純分支結構（不包含在循環中的if或switch語句）而言，執行的次數都是恆定的，其時間複雜度也是O(1)。

線性階

線性階的循環結構會複雜一些。要肯定某個算法的階次，咱們經常須要肯定某個特定語句或某個語句集的運行次數。所以，咱們要分析算法的複雜度，關鍵就是要分析循環結構的運行狀況。

下面這段代碼，它的循環時間複雜度爲O(n)，由於循環中的代碼需要執行n次。

for(int i = 0; i < n; i++){
}

對數階

int count = 1;
while(count < n){
    count = count * 2;
}

因爲每次count乘以2以後，就離n更近了一些。也就是是，有多少個2相乘後大於n，則會退出循環。由2^x=n獲得x=log2n(以2爲底n的對數)。因此這個循環的時間複雜度爲O(logn)。

平方階

下面例子是一個循環嵌套，它的內循環時間複雜度爲O(n)。

int i,j;
for(i = 0; i < n; i++){
    for(j = 0; j < n; j++){
    
    }
}

對於外循環不過是這個時間複雜度爲O(n)的語句循環了n次，因此這段代碼的時間複雜度爲O(n^2)。

若是外循環的次數改成了m，那麼時間複雜度就變爲了O(m*n)。

因此咱們能夠總結出來：循環的時間複雜度等於循環體的複雜度乘以循環運行的次數。

那麼，下面這段代碼的時間複雜度是多少呢？

int i,j;
for(i = 0; i < n; i++){
    for(j = i; j < n; j++){
    
    }
}

咱們能夠推導一下當i = 0 時，內循環執行了n次；當i = 1時，執行了n - 1次，……當 i = n-1時，執行了1次。因此總的執行次數爲：

n + (n-1) + (n-2) + …… + 1 = n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2

用推導大O階的方法

1. 因爲沒有加法常數，能夠不考慮
2. 只保留最高階，也就是保留n^2/2
3. 去除常數的相乘項，也就是去除1/2

最終，這段代碼的時間複雜度就是O(n^2)。

常見的時間複雜度

該表列舉了一些常見的時間複雜度

執行次數函數	階	非正式術語
12	O(1)	常數階
2n+3	O(n)	線性階
3n^2+2n+1	O(n^2)	平方階
5log2n(2爲底n的對數)+20	O(logn)	對數階
2n+3log2n(2爲底n的對數)+19	O(nlgon)	nlogn階
6n^3+2n^2+3n+4	O(n^3)	立方階
2^n	O(2^n)	指數階

經常使用的時間複雜度從小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)