傅里葉變換就是這麼簡單，您學會了嗎?

時間 2019-11-17

標籤傅里葉變換就是簡單學會简体版

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學習傅里葉變換須要面對大量的數學公式，數學功底較差的同窗聽到傅里葉變換就頭疼。事實上，許多數學功底好的數字信號處理專業的同窗也不必定理解傅里葉變換的真實含義，不能作到學以至用！編程

>>>>異步

事實上，傅里葉變換的相關運算已經很是成熟，有現成函數能夠調用。對於絕大部分只需用好傅里葉變換的同窗，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是理解傅里葉變換的含義及意義。函數

本文試圖不用一個數學公式，採用較爲通俗的語言深刻淺出的闡述傅里葉變換的含義、意義及方法，但願你們能夠更加親近傅里葉變換，用好傅里葉變換。學習

一. 偉大的傅里葉、偉大的爭議！

1807年，39歲的法國數學家傅里葉於法國科學學會上展現了一篇論文（此時不能算髮表，該論文要到21年以後發表），論文中有個在當時極具爭議的論斷：「任何連續週期信號能夠由一組適當的正弦曲線組合而成」。spa

這篇論文，引發了法國另外兩位著名數學家拉普拉斯和拉格朗日的極度關注！設計

58歲的拉普拉斯同意傅里葉的觀點。對象

71歲的拉格朗日（貌似如今的院士，不用退休）則反對，反對的理由是「正弦曲線沒法組合成一個帶有棱角的信號」。屈服於朗格朗日的威望，該論文直到朗格朗日去世後的第15年才得以發表。數學

以後的科學家證實：傅里葉和拉格朗日都是對的！基礎

有限數量的正弦曲線的確沒法組合成一個帶有棱角的信號，然而，無限數量的正弦曲線的組合從能量的角度能夠很是無限逼近帶有棱角的信號。擴展

二. 傅里葉變換的定義

後人將傅里葉的論斷進行了擴展：知足必定條件的函數能夠表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。如何獲得這個線性組合呢？這就須要傅里葉變換。

必定條件是什麼呢？

這是數學家研究的問題，對於大多數搞電參量測量的工程師而言，沒必要關注這個問題，由於，電參量測量中遇到的週期信號，都知足這個條件。

這樣，在電參量測量分析中，咱們能夠用更通俗的話來描述傅里葉變換：

任意週期信號能夠分解爲直流份量和一組不一樣幅值、頻率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里葉變換。直流份量這個術語源自電氣工程學，意指直流電（頻率爲0的電流）。

而且，這些正弦波的頻率符合一個規律：是某個頻率的整數倍。這個頻率，就稱爲基波頻率，而其它頻率稱爲諧波頻率。若是諧波的頻率是基波頻率的N倍，就稱爲N次諧波。直流份量的頻率爲零，是基波頻率的零倍，也可稱零次諧波。

三. 傅里葉變換的意義

1. 爲何要進行傅里葉變換呢？

傅里葉變換是描述信號的須要。

只要能反映信號的特徵，描述方法越簡單越好！

信號特徵能夠用特徵值進行量化。

所謂特徵值，是指能夠定量描述一個波形的某種特徵的數值。全面描述一個波形，可能須要多個特徵值。

好比說：正弦波能夠用幅值和頻率兩個特徵值全面描述；方波能夠用幅值、頻率和佔空比三個特徵值全面描述（單個週期信號不考慮相位）。

上述特徵值，咱們能夠經過示波器觀測實時波形獲取，稱爲時域分析法。事實上，許多人都習慣於時域分析法，想要了解一個信號時，必定會說：「讓我看看波形！」

但是，除了一些常見的規則信號，許多時候，給你波形看，你也看不明白！

複雜的不講，看看下面這個波形，能看出道道嗎？

咱們能看到的僅僅是一個相似正弦波的波形，其幅值在按照必定的規律變化。

如何記載這個波形的信息呢？尤爲是量化的記載！

很難！

事實上，上述波形採用傅里葉變換後，就是一個50Hz的正弦波上疊加一個40Hz的正弦波，二者幅度不一樣，40Hz的幅度越大，波動幅度就越大，而波動的頻率就是二者的差頻10Hz（三相異步電動機疊頻溫升試驗時的電流波形）。

再看一個看似簡單的波形：

這個波形有點像正弦波，可是，比正弦波尖，俗稱「尖頂波」，多見於變壓器空載電流輸入波形。

咱們很難準肯定量其與正弦波的區別。

採用傅里葉變換後，獲得下述頻譜（幅值譜）：

主要包括三、五、七、9次諧波，一目瞭然！

傅里葉變換是一種信號分析方法，讓咱們對信號的構成和特色進行深刻的、定量的研究。把信號經過頻譜的方式（包括幅值譜、相位譜和功率譜）進行準確的、定量的描述。

這就是傅里葉變換的主要目的。

如今，咱們知道傅里葉變換的目的了，剩下的問題是：

2. 爲何傅里葉變換要把信號分解爲正弦波的組合，而不是方波或三角波？

其實，若是張三可以證實，任意信號能夠分解爲方波的組合，其分解的方法不妨稱爲張三變換；李四可以證實，任意信號能夠分解爲三角波的組合，其分解的方法也能夠稱爲李四變換。

傅里葉變換是一種信號分析的方法。既然是分析方法，其目的應該是把問題變得更簡單，而不是變得更復雜。傅里葉選擇了正弦波，沒有選擇方波或其它波形，正好是其偉大之處！

正弦波有個其它任何波形（恆定的直流波形除外）所不具有的特色：正弦波輸入至任何線性系統，出來的仍是正弦波，改變的僅僅是幅值和相位，即：正弦波輸入至線性系統，不會產生新的頻率成分（非線性系統如變頻器，就會產生新的頻率成分，稱爲諧波）。用單位幅值的不一樣頻率的正弦波輸入至某線性系統，記錄其輸出正弦波的幅值和頻率的關係，就獲得該系統的幅頻特性，記錄輸出正弦波的相位和頻率的關係，就獲得該系統的相頻特性。

線性系統是自動控制研究的主要對象，線性系統具有一個特色，多個正弦波疊加後輸入至一個系統，輸出是全部正弦波獨立輸入時對應輸出的疊加。

也就是說，咱們只要研究正弦波的輸入輸出關係，就能夠知道該系統對任意輸入信號的響應。

這就是傅里葉變換的最主要的意義！

四. 如何求傅里葉變換？

文章開始就說了，具體求傅里葉變換，有成熟的函數可供調用。本文只講述如何理解傅里葉變換的思想。若是你掌握了這個思想，不用再記公式，也不用去調用什麼函數，本身編個簡單程序就可實現。就算你不會編程，只要你學過三角函數，至少能夠理解傅里葉變換的過程。

傅里葉的偉大之處不在於如何進行傅里葉變換，而是在於給出了「任何連續週期信號能夠由一組適當的正弦曲線組合而成」這一偉大的論斷。

知道了這一論斷，只要知道正弦函數的基本特性，變換並不難，不要記公式，你也能實現傅里葉變換！

正弦函數有一個特色，叫作正交性，所謂正交性，是指任意兩個不一樣頻率的正弦波的乘積，在二者的公共週期內的積分等於零。

這是一個很是有用的特性，咱們能夠利用這個特性設計一個以下的檢波器（下稱檢波器A）：

檢波器A由一個乘法器和一個積分器構成，乘法器的一個輸入爲已知頻率f的單位幅值正弦波（下稱標準正弦信號f），另外一個輸入爲待變換的信號。檢波器A的輸出只與待變換信號中的頻率爲f的正弦份量的幅值和相位有關。

待變換信號可能包含頻率爲f的份量（下稱f份量），也可能不包含f份量，總之，可能包含各類頻率份量。一句話，待變換信號是未知的，而且可能很複雜！

不要緊，咱們先看看，待變換信號是否包含f份量。

由於其它頻率份量與標準正弦信號f的乘積的積分都等於零，檢波器A能夠當它們不存在！通過檢波器A，輸出就只剩下與f份量有關的一個量，這個量等於待變換信號中f份量與標準正弦信號f的乘積的積分。

很容易獲得的結論是：

若是輸出不等於零，就說明輸入信號包含f份量！

這個輸出是否就是f份量呢？

答案：不必定！

正弦波還有下述的特性：

相同頻率的正弦波，當相位差爲90°時（正交），在一個週期內的乘積的積分值等於零；當相位相同時，積分值達到最大，等於二者的有效值的乘積，當相位相反時，積分值達到最小，等於二者的有效值的乘積取反。

咱們知道標準正弦信號f的初始相位爲零，可是，咱們不知道f份量的初始相位！若是f份量與標準正弦信號f的相位恰好差90°（或270°），檢波器A輸出也等於零！爲此，咱們再設計一個檢波器B：

檢波器B與檢波器A的不一樣之處在於檢波器B用一個標準餘弦信號f（與標準正弦信號A相位差90°）替代濾波器A中的標準正弦信號f。若是待變換信號中包含f份量，檢波器A和檢波器B至少有一個輸出不等於零。

利用三角函數的基礎知識能夠證實，不論f份量的初始相位如何，檢波器A和檢波器B輸出信號的幅值的方和根就等於f份量的幅值；而檢波器B和檢波器A的幅值的比值等於f份量初始相位的正切，如此如此……便可求出f份量的相位。

咱們再把標準正弦信號f和標準餘弦信號f的頻率替換成咱們關心的任意頻率，就能夠獲得輸入信號的各類頻率成分。若是知道輸入信號的頻率，把這個頻率做爲基波頻率f0，用f0、2f0、3f0依次替代標準正弦信號f和標準餘弦信號f的頻率，就能夠獲得輸入信號的基波、2次諧波和3次諧波。