最大子序列的求解-分治方法

問題描述

問題：給定整數序列，求解其中最大子序列（連續的序列）。

思路分析

利用「分治」和遞歸的思想求解，在《數據結構與算法分析（Java語言描述）》Page29，做者給出了具體的java代碼。
整體思路是，原序列的子序列存在於三處，左、右和跨中點。將序列從中點分割，分別用遞歸求出

1. 左邊最大子序列
2. 右邊最大子序列
3. 跨中點的最大子序列

其中，步驟3分別求出包含左側和右側包含中點端點的最大子序列，求和便是結果。
這樣最後三者中的最大者即爲序列的最大子序列。

源程序

//添加了求三數最大值的函數
public class MaxSubsequence {

    public static int maxSubSum3(int[] a) {
        return maxSumRec(a,0,a.length-1);
    }
    
    private static int maxSumRec(int[] a,int left,int right) {
        if(left==right) {
            if(a[left]>0)
                return a[left];
            else
                return 0;
        }
        
        int center =(left+right)/2;
        int maxLeftSum=maxSumRec(a, left, center);     //遞歸1
        int maxRightSum=maxSumRec(a, center+1, right); //遞歸2
        
        int maxLeftBorderSum=0,leftBorderSum=0;
        for(int i=center;i>=left;i--) {
            leftBorderSum+=a[i];
            if(leftBorderSum>maxLeftBorderSum)
                maxLeftBorderSum=leftBorderSum;            
        }
        
        int maxRightBorderSum=0,rightBorderSum=0;
        for(int i=center+1;i<=right;i++) {
            rightBorderSum+=a[i];
            if(rightBorderSum>maxRightBorderSum)
                maxRightBorderSum=rightBorderSum;            
        }
        
        return max3(maxLeftSum,maxRightSum,maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum);            
    }
    
    public static int max3(int a,int b,int c) {
        int temp=a>b?a:b;
        int max3=temp>c?temp:c;
        return max3;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[] arr={4,-3,5,-2,-1,2,6,-2};
        int maxSubSum=maxSubSum3(arr);
        System.out.println("the maxSubSum of array arr is:"+maxSubSum);
    }

}

程序分析

程序中，maxSumRec爲遞歸函數，函數開始爲是否到達遞歸基準的if判斷語句，而後分別是兩個遞歸語句，執行步驟①②。對於遞歸而言，遞歸語句後邊的語句暫時不執行，從遞歸語句處直接返回遞歸函數開始進行遞歸，在該遞歸語句處向內遞歸，直到到達基準語句，執行return跳出遞歸。遞歸語句計算出maxLeftSum和maxRightSum。

函數中，遞歸語句後邊的部分計算步驟③，在for循環中，固定中點端點，分別向左右兩側循環求和，利用if語句來更新包含中心端點的maxLeftBorderSum和maxRightBorderSum。兩個變量求和便是③的最大子序列。

最後，求出最大者便可。

啓發：使用遞歸的時候，須要在遞歸語句前邊，提早設置好到達基準的條件（if，return/break），以便適時完成遞歸，跳出遞歸函數。

程序性能分析

注意到，該段程序的兩條遞歸語句出如今同一個函數內，起初我對遞歸的具體執行順序理解錯誤，覺得步驟①的遞歸執行得出maxLeftSum時，以後的步驟③語句並不會執行。實際進行程序調試後，發現，該段程序雖然看起來相對簡潔，但在執行時，會執行沒必要要的語句，執行邏輯並不明瞭。

下面進行簡單的做圖分析：

注意到，遞歸函數從外層，沿着計算maxLeft的路徑，通過三次遞歸調用maxSumRec函數，到達基準，在基準層分別計算遞歸函數內部的三部分maxLeft、maxRight、左側最大子序列與右側最大子序列的和maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum，並利用max3求出最大者返回。而後再從基準層向上，計算上一層maxRightSum，而後依次規律，逐步向上計算，最後計算出整個遞歸函數的maxLeft、maxRight和左右和，最後再執行max3函數，返回三者的最大值，獲得最終的最大子序列和。

整個過程相似二叉樹的每個節點都長三個不一樣大小的桃子，從根節點遞歸到最下層的樹葉，比較三個桃子的大小，摘取一個，再摘取同輩的其餘節點的桃子。依次向上摘，整體呈現從總到分，再從分到總的一個過程。

時間複雜度計算

程序主要運行部分在maxSumRec函數，分爲if判斷基準語句、兩條遞歸語句、兩個for計算半側邊界最大子序列語句。若序列元素個數爲N，T（N）爲該算法的運行時間。

在maxSumRec函數中，無論N爲多少，if基準語句部分老是運行固定的常數時間。

• 若N=1，爲基準狀況，if語句執行，return返回結果，後續部分再也不執行，所以，T（1）=1。
• 若N≠1，則後續的程序必須執行。兩個for循環中，索引0~N-1的元素都被接觸一次，運行時間爲O（N）。if基準語句、與if等縮進的幾條賦值語句運行時間爲常量，與O（N）比可忽略。剩餘爲兩條遞歸語句，每條語句執行時間爲T（N/2）,由於左/右最大子序列求解，都是處理N/2大小的子序列。總的運行時間T（N）=2T（N/2）+O（N）。

參考書上的方法，使用規律遞推的方式，計算T（N）。簡化O（N）爲N，並假設N爲2的冪。T（2）=2×2，T（4）=4×3，T（8）=8×4，T（16）=16×5，若N=2^k，則T（N）=N(logN+1)=O（N log N）

總結

整體而言，對於計算序列的最大子序列而言，書中的本算法略顯麻煩，後續會進行其餘簡潔方法的補充，本文藉此算法來深刻理解遞歸的過程。