展轉相除求最大公約數

序

求最大公約數的最經常使用的算法是歐幾里得算法，也稱爲展轉相除法。問題定義爲求i和j的最大公約數gcd(i,j)，其中i和j是整數，不妨設i>j。
算法能夠遞歸的表示:
1. 若是j能整除i，那麼gcd(i,j)=j；

2. j不能整除i，令r=i%j，那麼gcd(i,j)=gcd(j,r)。

C實現

int gcd(int i, int j)
{
    int r = i % j;
    return r == 0 ? j : gcd(j, r);
}

分析

算法的步驟1，顯然成立(最大公約數定義)；

要證實步驟2：

設d是i和j的最大公約數，
那麼i=md，j=nd，m和n互質(不然d不是最大公約數)。
由r=i%j能夠獲得i=kj+r，k=⌊m/n⌋，k≥1(咱們前面假設過i>j)。
把i=md，j=nd代入獲得
md=knd+r
那麼
r=(m-kn)d
m-kn和m也是互質的。
因此獲得d是j和r的最大公約數。

時間複雜度分析：
逆着看該算法，最後的餘數是0，倒數第二次餘數是d，倒數第三次是kd，k>1…
因爲組成了一個數列，{0,d,kd,nkd+d,…}
數列的n項加上n+1項，比n+2項要小，因此比斐波納契數列增加的要快。
咱們已知斐波納契數列增加速度是指數，那麼待分析的數列也是指數增加。
設歐幾里得算法須要k次，那麼j=O(2^k)，則k=O(lg j)。

因此歐幾里得算法求最大公約數的時間複雜度是對數量級的，速度很是快。